Relación estadística

Existen diversos coeficientes que miden el grado de correlación, adaptados a la naturaleza de los datos. El más conocido es el coeficiente de correlación de Pearson (introducido en realidad por Francis Galton), que se obtiene dividiendo la covarianza de dos variables entre el producto de sus desviaciones estándar. Otros coeficientes son:

• Coeficiente de correlación de Spearman
• Correlación canónica

Dados los valores muestrales de dos variables aleatorias ${\displaystyle X(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ e ${\displaystyle Y(y_{1},\ldots ,y_{n})}$, que pueden ser consideradas como vectores en un espacio de n dimensiones, pueden construirse los "vectores centrados" como:

${\displaystyle X(x_{1}-{\bar {x}},\ldots ,x_{n}-{\bar {x}})}$ e ${\displaystyle Y(y_{1}-{\bar {y}},\ldots ,y_{n}-{\bar {y}})}$.

El coseno del ángulo alfa entre estos vectores es dado por la fórmula siguiente:

${\displaystyle r=\cos(\alpha )={\dfrac {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})\cdot (y_{i}-{\bar {y}})}{{\sqrt {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}\cdot {\sqrt {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}}}}}$

Pues ${\displaystyle \cos(\alpha )}$ es el coeficiente de correlación muestral de Pearson. El coeficiente de correlación es el coseno del ángulo entre ambos vectores centrados:

• Si r = 1, el ángulo ${\displaystyle \alpha =0}$°, ambos vectores son colineales (paralelos).
• Si r = 0, el ángulo ${\displaystyle \alpha =90}$°, ambos vectores son ortogonales.
• Si r =-1, el ángulo ${\displaystyle \alpha =180}$°, ambos vectores son colineales de dirección opuesto.

Más generalmente: ${\displaystyle \alpha =\arccos(r)}$.

Por supuesto, desde el punto vista geométrico, no hablamos de correlación lineal: el coeficiente de correlación tiene siempre un sentido, cualquiera sea su valor entre -1 y 1. Nos informa de modo preciso, no tanto sobre el grado de dependencia entre las variables, sino sobre su distancia angular en la hiperesfera de n dimensiones.

La Iconografía de las correlaciones es un método de análisis multidimensional que reposa en esta idea. La correlación lineal se da cuando en una nube de puntos se encuentran o se distribuyen alrededor de una recta.

La fórmula de correlación para dos series distintas con cierto desfase "k", está dada por la fórmula:

${\displaystyle r_{k}={\dfrac {\displaystyle \sum _{i=1}^{N-k}(x_{i}-{\bar {x}})\cdot (y_{i+k}-{\bar {y}})}{{\sqrt {\displaystyle \sum _{i=1}^{N-k}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}\cdot {\sqrt {\displaystyle \sum _{i=k+1}^{N}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}}}}}$

El coeficiente de correlación muestral o analítico de una muestra es de hecho una variable aleatoria, eso significa que si repetimos un experimento o consideramos diferentes muestras se obtendrán valores diferentes y por tanto el coeficiente de correlación muestral calculado a partir de ellas tendrá valores ligeramente diferentes. Para muestras grandes la variación en dicho coeficiente será menor que para muestras pequeñas. R. A. Fisher fue el primero en determinar la distribución de probabilidad para el coeficiente de correlación.

Si las dos variables aleatorias que trata de relacionarse proceden de una distribución gaussiana bivariante entonces el coeficiente de correlación r sigue una distribución de probabilidad dada por:^[1][2]

${\displaystyle f\left(r\right)={\frac {\left(n-2\right)\,\mathbf {\Gamma } \left(n-1\right)\left(1-\rho ^{2}\right)^{\frac {n-1}{2}}\left(1-r^{2}\right)^{\frac {n-4}{2}}}{{\sqrt {2\pi }}\,\mathbf {\Gamma } \left(n-{\frac {1}{2}}\right)\left(1-\rho r\right)^{n-{\frac {3}{2}}}}}\,\mathbf {_{2}F_{1}} \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};{\frac {2n-1}{2}};{\frac {\rho r+1}{2}}\right)}$

donde:

${\displaystyle \mathbf {\Gamma } }$ es la distribución gamma

${\displaystyle \,\mathbf {_{2}F_{1}} (a,b;c;z)}$ es la función gaussiana hipergeométrica.

Nótese que el valor esperado del coeficiente de correlación muestral r es:

${\displaystyle \mathbb {E} \left(r\right)=\rho -{\frac {\rho \left(1-\rho ^{2}\right)}{2\left(n-1\right)}}+\cdots }$

por tanto, r es estimador sesgado de ${\displaystyle \,\rho }$. Puede obtenerse un estimador aproximado no sesgado resolviendo la ecuación:

${\displaystyle {\bar {r}}=\mathbb {E} \left(r\right)=\rho -{\frac {\rho \left(1-\rho ^{2}\right)}{2\left(n-1\right)}}}$ para ${\displaystyle \,\rho }$

Aunque, la solución:

${\displaystyle {\rho }=r\left[1+{\frac {1-r^{2}}{2\left(n-1\right)}}\right]}$

es subóptima. Se puede obtener un estimador sesgado con mínima varianza para grandes valores de n, con sesgo de orden ${\displaystyle {\frac {1}{n-1}}}$ buscando el máximo de la expresión:

${\displaystyle \log {f\left(r\right)}}$, i.e. ${\displaystyle {\hat {\rho }}=r\left[1-{\frac {1-r^{2}}{2\left(n-1\right)}}\right]}$

En el caso especial de que ${\displaystyle \,\rho =0}$, la distribución original puede ser reescrita como:

${\displaystyle f\left(r\right)={\frac {\left(1-r^{2}\right)^{\frac {n-4}{2}}}{\mathbf {B} \left({\frac {1}{2}},{\frac {n-2}{2}}\right)}}}$

donde ${\displaystyle \mathbf {B} }$ es la función beta.

• Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre relación estadística.
• Diccionario Estadístico - Divestadística (en castellano)
• (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última). Simulación de la correlación entre dos variables discretas con R (lenguaje de programación)