Representación irreducible

Dada una representación ${\displaystyle \scriptstyle (G,\rho ,V)}$ de un grupo ${\displaystyle \scriptstyle G}$ sobre un espacio vectorial ${\displaystyle \scriptstyle V}$:

${\displaystyle \rho :G\to {\mbox{GL}}(V)}$

Un subespacio vectorial ${\displaystyle \scriptstyle U\subset V}$ se llama ${\displaystyle \scriptstyle G}$-invariante si:

${\displaystyle \forall g\in G:\rho (g)U\subseteq U}$

Una representación ${\displaystyle \scriptstyle (G,\rho ,V)}$ es irreducible si no existen subespacios cerrados ${\displaystyle \scriptstyle G}$-invariantes.

En ciertas áreas es importante considerar representaciones unitarias del tipo:

${\displaystyle \rho :G\to {\mbox{U}}(n)\subset {\mbox{GL}}(\mathbb {C} ^{n})}$

El conjunto de los números reales ${\displaystyle \scriptstyle (\mathbb {R} ,+)}$ puede ser visto como un grupo de Lie unidimensional. Este grupo admite un conjunto infinito de representaciones irreducibles unitarias ${\displaystyle \scriptstyle (\mathbb {R} ,\chi _{t},\mathrm {U} (1))}$. De hecho toda representación irreducible unitaria de este grupo de Lie es de la forma:

${\displaystyle {\begin{matrix}\chi _{t}:\mathbb {R} \to {\mbox{U}}(1)\\x\mapsto e^{ixt}\end{matrix}}}$

Para el grupo ortogonal ${\displaystyle \scriptstyle \mathrm {O} (n)}$ pueden construirse representaciones unitarias sobre el espacio de funciones polinómicas sobre la (n-1)-esfera ${\displaystyle \scriptstyle S^{n-1}}$. Para ello se considera el espacio vectorial de funciones polinómias de n variables ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} [x_{1},\dots ,x_{n}]={\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})}$ y se define la siguiente representación de ${\displaystyle \scriptstyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$:

(*)${\displaystyle \rho (g)(p(x))=p(g^{-1}x),\qquad g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} ),x\in \mathbb {R} ^{n}}$

Si la representación anterior se restringe a ${\displaystyle \scriptstyle \mathrm {O} (n)}$ se puede ver que el subespacio de polinomios homogéneos de orden k es invariante:

${\displaystyle {\mathcal {P}}^{k}(\mathbb {R} ^{n})=\{p(x)\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})|p(\lambda x)=\lambda ^{k}p(x)\}}$

Y también lo es el subespacio de polinomios armónicos incluido en el conjunto anterior:^[1]

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{k}(\mathbb {R} ^{n})=\{p(x)\in {\mathcal {P}}^{k}(\mathbb {R} ^{n})|\Delta p=0\}}$

La representación (*) es irreducible sobre este último conjunto. Además debido a la homogeneidad los elementos del espacio anterior se pueden expresar como funciones sobre la n-esfera unidad o n-armónicos esféricos.

• Howe, Roger; Tan, Eng Chye (1992). Non-Abelian Harmonic Analysis: Applications of SL(2,R) (en inglés). Springer-Verlag. ISBN 0-387-97768-6.