Rotacional

El concepto fue por primera vez usado por el matemático irlandés James MacCullagh en 1839^[1][2] si bien no recibió su nombre y terminología modernas hasta el trabajo de compilación de teoría de campos de James Clerk Maxwell en 1871.^[3]

Al campo vectorial, ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {J} }$, que se obtiene calculando el rotacional de un campo ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {F} }$ en cada punto,

${\displaystyle \mathbf {J} =\nabla \times \mathbf {F} }$

se conoce como las fuentes vectoriales de ${\displaystyle \mathbf {F} }$ (siendo las fuentes escalares las que se obtienen mediante la divergencia).

Un campo cuyo rotacional es nulo en todos los puntos del espacio se denomina irrotacional o se dice que carece de fuentes vectoriales. Y si está definido sobre un dominio simplemente conexo entonces dicho campo puede expresarse como el gradiente de una función escalar, o dicho de otra forma, el campo deriva de un potencial (es decir, es conservativo):

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {f} =0\ {\mbox{en}}\ \Omega \ {\mbox{simplemente conexo}}\ \Rightarrow \mathbf {f} =\nabla \phi }$

Partiendo de la definición mediante un límite, puede demostrarse que la expresión, en coordenadas cartesianas, del rotacional es

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right){\hat {x}}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right){\hat {y}}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right){\hat {z}}}$

que se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\left|{\begin{matrix}{\hat {x}}&{\hat {y}}&{\hat {z}}\\&&\\{\cfrac {\partial }{\partial x}}&{\cfrac {\partial }{\partial y}}&{\cfrac {\partial }{\partial z}}\\&&\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{matrix}}\right|}$

Debe tenerse muy presente que dicho determinante en realidad no es tal pues los elementos de la segunda fila no tienen argumento y por tanto carecen de sentido. Además, dicho determinante solo puede desarrollarse por la primera fila. En definitiva, la notación en forma de determinante sirve para recordar fácilmente la expresión del rotacional.

En la notación de Einstein, con el símbolo de Levi-Civita se escribe como:

${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )_{k}=\epsilon _{klm}\partial _{l}F_{m}}$

Si se emplean sistemas de coordenadas diferentes del cartesiano, la expresión debe generalizarse, para incluir el que los vectores de la base dependen de la posición. Para un sistema de coordenadas ortogonales, como las cartesianas, las cilíndricas o las esféricas, la expresión general precisa de los factores de escala:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left|{\begin{matrix}h_{1}{\hat {q}}_{1}&h_{2}{\hat {q}}_{2}&h_{3}{\hat {q}}_{3}\\&&\\{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}&{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}&{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\\&&\\h_{1}F_{1}&h_{2}F_{2}&h_{3}F_{3}\end{matrix}}\right|}$

(donde, en cartesianas, ${\displaystyle h_{x}=h_{y}=h_{z}=1}$, reobteniendo la expresión anterior. En coordenadas cilíndricas ${\displaystyle h_{\rho }=h_{z}=1,\ h_{\varphi }=\rho }$ y en coordenadas esféricas ${\displaystyle h_{r}=1,\ h_{\theta }=r,\ h_{\varphi }=r{\rm {sen}}\theta }$).

Usando la derivada exterior, el rotacional se escribe simplemente como:

${\displaystyle {\text{d}}F\,}$

Obsérvese que tomando la derivada exterior de un campo (co)vectorial no da lugar a otro campo vectorial, sino a una 2-forma o un campo de bivector, escrito correctamente como ${\displaystyle P\,(dx\wedge dy)+Q\,(dy\wedge dz)+R\,(dx\wedge dz)}$. Sin embargo, puesto que los bivectores generalmente se consideran menos intuitivos que los vectores ordinarios, el R³-dual se utiliza comúnmente en lugar de otro: esto es una operación quiral, produciendo un pseudovector que adquiere valores opuestos en conjuntos coordenados izquierdos y derechos.

Sea ${\displaystyle {\vec {F}}=F_{\alpha }{\hat {u}}_{\alpha }+F_{\beta }{\hat {u}}_{\beta }+F_{\gamma }{\hat {u}}_{\gamma }}$. El rotacional de ${\displaystyle {\vec {F}}}$ en un punto es el campo vectorial, ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}}$, tal que cada componente ${\displaystyle ({\vec {\nabla }}\times {\vec {F}})_{\alpha }}$ representa la circulación a lo largo de los lados ${\displaystyle \partial l}$ de la superficie elemental ${\displaystyle ds_{\beta \gamma }}$ en ${\displaystyle P}$ según la dirección ${\displaystyle \alpha }$, por unidad de superficie. Es decir,

${\displaystyle ({\vec {\nabla }}\times {\vec {F}})_{\alpha }={\frac {1}{ds_{\beta \gamma }}}\int _{\partial l}{{\vec {F}}\cdot d{\vec {l}}}={\frac {1}{ds_{\beta \gamma }}}\sum _{{\text{lados}}\ \beta ,\gamma }{{\vec {F}}_{l}\cdot d{\vec {l}}}}$

Siendo análogo para el resto de componentes.

La expresión para el rotacional en coordenadas ortogonales, circulando a derechas con respecto a ${\displaystyle {\hat {u}}_{\alpha }}$ es

${\displaystyle ({\vec {\nabla }}\times {\vec {F}})_{\alpha }={\frac {1}{h_{\beta }h_{\gamma }d\beta d\gamma }}[d_{\beta }(A_{\gamma }h_{\gamma }d\gamma )-d_{\gamma }(a_{\beta }h_{\beta }d\beta )]={\frac {1}{h_{\beta }h_{\gamma }}}\left[{\frac {\partial (A_{\gamma }h_{\gamma })}{\partial \beta }}-{\frac {\partial (A_{\beta }h_{\beta })}{\partial \gamma }}\right]}$

donde ${\displaystyle d_{\alpha }B(\alpha )={\frac {\partial B}{\partial \alpha }}d\alpha =B(\alpha +d\alpha )-B(\alpha )}$ y ${\displaystyle h_{\alpha }}$ es el factor de escala, calculado como${\displaystyle h_{\alpha }={\sqrt {{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \alpha }}\cdot {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \alpha }}}}={\sqrt {\left({\frac {\partial x}{\partial \alpha }}\right)^{2}+\left({\frac {\partial y}{\partial \alpha }}\right)^{2}+\left({\frac {\partial z}{\partial \alpha }}\right)^{2}}}}$

Con lo que de modo compacto para las tres componentes se tiene

${\displaystyle {\text{rot}}\ {\vec {A}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}={\frac {1}{h_{\alpha }h_{\beta }h_{\gamma }}}{\begin{vmatrix}h_{\alpha }{\hat {u}}_{\alpha }&h_{\beta }{\hat {u}}_{\beta }&h_{\gamma }{\hat {u}}_{\gamma }\\\partial /\partial \alpha &\partial /\partial \beta &\partial /\partial \gamma \\h_{\alpha }A_{\alpha }&h_{\beta }A_{\beta }&h_{\gamma }A_{\gamma }\end{vmatrix}}=\eta _{ijk}\partial _{j}(h_{k}A_{k})h_{i}{\hat {u}}_{i},\qquad i,j,k=\alpha ,\beta ,\gamma }$

donde ${\displaystyle \eta _{ijk}\equiv \epsilon _{ijk}/(h_{\alpha }h_{\beta }h_{\gamma })}$ es el tensor antisimétrico de Levi-Civita entre los factores de escala y

${\displaystyle \partial _{j}\equiv {\frac {\partial }{\partial x_{j}}},\ x_{j}=\alpha ,\beta ,\gamma }$

La forma por componentes utilizando tensores puede utilizarse para demostrar las propiedades que se verán más adelante

• Todo campo potencial (expresable como el gradiente de un potencial escalar) cuyo dominio es simplemente conexo es irrotacional y viceversa, esto es,

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi \qquad \Leftrightarrow \qquad \nabla \times \mathbf {E} =0}$

• Todo campo central (radial y dependiente solo de la distancia al centro) es irrotacional.

${\displaystyle \mathbf {E} =f(r){\hat {\mathbf {r} }}\qquad \Rightarrow \qquad \nabla \times \mathbf {E} =0}$

En particular, el campo eléctrostático de una carga puntual (y por superposición, cualquier campo electrostático) es irrotacional.

• El rotacional de un campo vectorial es siempre un campo solenoidal, esto es, su divergencia siempre es nula:

${\displaystyle \nabla \cdot \left(\nabla \times {\vec {F}}\right)\equiv 0}$

En general, en las coordenadas curvilíneas, (no solo en coordenadas cartesianas), el rotacional de un producto de vectores de campo v y F puede expresarse:

${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {v\times F} \right)=\left[\left(\mathbf {\nabla \cdot F} \right)+\mathbf {F\cdot \nabla } \right]\mathbf {v} -\left[\left(\mathbf {\nabla \cdot v} \right)+\mathbf {v\cdot \nabla } \right]\mathbf {F} \ .}$

Intercambiando el vector de campo v y el operador ∇, llegamos al producto vectorial de un vector de campo con el rotacional de otro:

${\displaystyle \mathbf {v\ \times } \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\nabla _{F}\left(\mathbf {v\cdot F} \right)-\left(\mathbf {v\cdot \nabla } \right)\mathbf {F} \ ,}$

usando la notación de Feynman, ∇_F, que opera solo con el vector de campo F.

Otra identidad es el rotacional del rotacional de un vector de campo. Puede ser expresado de la siguiente forma, en coordenadas cartesianas:

${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla \cdot F} )-\nabla ^{2}\mathbf {F} \ ,}$

en esta identidad el Operador laplaciano de F se representa como ∇²F.

El rotacional del gradiente de cualquier campo escalar φ es siempre nulo

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )={\boldsymbol {0}}}$

Si φ es una función escalar y F es un vector de campo, entonces:

${\displaystyle \nabla \times (\varphi \mathbf {F} )=\nabla \varphi \times \mathbf {F} +\varphi (\nabla \times \mathbf {F} )}$