Rotaciones y reflexiones en dos dimensiones

Una rotación en el plano se puede formar al componer un par de reflexiones. Primero, se calcula la reflexión de un punto P para obtener su imagen P′ al otro lado de la recta L₁. A continuación, se calcula la reflexión de P′ para obtener su imagen P′′ al otro lado de la recta L₂. Si las rectas L₁ y L₂ forman un ángulo θ entre sí, entonces los puntos P y P′′ formarán un ángulo de 2θ alrededor del punto O, intersección de L₁ y L₂. Es decir, el ángulo POP′′ medirá 2θ.^[1]

Un par de rotaciones sobre el mismo punto O serán equivalentes a otra rotación sobre el punto O. Por otro lado, la composición de una reflexión y una rotación, o de una rotación y una reflexión (la composición no es conmutativa), será equivalente a una reflexión.^[1]

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Las declaraciones anteriores se pueden expresar de forma más matemática. Sea una rotación sobre el origen O según un ángulo θ, denotada como Rot(θ); y sea una reflexión sobre una recta L que pasa a través del origen y que forma un ángulo θ con el eje x, denotada como Ref(θ). Ahora, se considera que estas rotaciones y reflexiones operan sobre todos los puntos del plano, que se representen mediante sus vectores de posición.

Entonces, una rotación puede ser representada como una matriz

${\displaystyle \operatorname {Rot} (\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}},}$

Y lo mismo para una reflexión

${\displaystyle \operatorname {Ref} (\theta )={\begin{bmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{bmatrix}}.}$

Con estas definiciones de rotación y de reflexión de coordenadas, se tienen las siguientes cuatro identidades:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Rot} (\theta )\,\operatorname {Rot} (\phi )&\equiv \operatorname {Rot} (\theta +\phi ),\\\operatorname {Ref} (\theta )\,\operatorname {Ref} (\phi )&\equiv \operatorname {Rot} (2[\theta -\phi ]),\\\operatorname {Rot} (\theta )\,\operatorname {Ref} (\phi )&\equiv \operatorname {Ref} \left(\phi +{\frac {1}{2}}\theta \right),\\\operatorname {Ref} (\phi )\,\operatorname {Rot} (\theta )&\equiv \operatorname {Ref} \left(\phi -{\frac {1}{2}}\theta \right).\end{aligned}}}$

Estas ecuaciones se pueden probar directamente mediante multiplicación de matrices y la aplicación de identidades trigonométricas.