Segundo Teorema de Minkowski

En matemáticas, el segundo teorema de Minkowski es un resultado en la geometría de los números sobre los valores tomados por una norma en un látice y el volumen de su célula fundamental.

Sea $K$ un cuerpo cerrado convexo centralmente simétrico de volumen positivo y finito en un espacio Euclídeo n-dimensional ℝⁿ. El gauge^[1] o funcional de Minkowski de distancia^[2]^[3] g respecto a K está definido por

g(x)=\inf \left\{\lambda \in \mathbb {R} :x\in \lambda K\right\}.

Conversamente, dada una norma $g$ en ℝⁿ, definimos $K$ como

{\textstyle K=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:g(x)\leq 1\right\}.}

Sea $Γ$ un látice, o enrejado en ℝⁿ. Los mínimos sucesivos de K o $g$ en Γ están definidos dejanto que el k-ésimo mínimo sucesivo $λ k$ sea el ínfimo de los números λ tal que $λK$ contiene k vectores linearmente independientes de $Γ$ . Tenemos $0 < λ 1 \leq λ 2 \leq ... \leq λ n < \infty$ .

Enunciado

Los mínimos sucesivos satisfacen lo siguiente^[4]^[5]^[6]

{\frac {2^{n}}{n!}}\operatorname {vol} \left(\mathbb {R} ^{n}/\Gamma \right)\leq \lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}\operatorname {vol} (K)\leq 2^{n}\operatorname {vol} \left(\mathbb {R} ^{n}/\Gamma \right).

Prueba

Una base de vectores linearmente independientes del enrejado b₁ , b₂ , ... b_n puede ser definida por g(b_j) = λ_j .

La cuota inferior se demuestra considerando el politopo convexo 2n con vértices en ±b_j/ λ_j , el cual tiene un interior contenido en $K$ y un volumen que es 2n/n!λ₁ λ₂...λ_n veces un múltiplo entero de una célula primitiva del enrejado (lo cual puede verse escalando el politopo por un factor λ_j en la dirección de cada vector base para obtener 2ⁿ n-simplejos con vectores en el enrejado).

Para probar la cuota superior, consideremos las funciones $f j (x)$ que envían puntos $x$ en ${\textstyle K}$ al centroide del subconjunto de puntos en ${\textstyle K}$ que puede ser escrito como ${\textstyle x+\sum _{i=1}^{j-1}a_{i}b_{i}}$ para algunos números reales ${\textstyle a_{i}}$ . Entonces, la transformaciónd de coordenadas ${\textstyle x'=h(x)=\sum _{i=1}^{n}(\lambda _{i}-\lambda _{i-1})f_{i}(x)/2}$ tiene un determinante jacobiano ${\textstyle J=\lambda _{1}\lambda _{2}\ldots \lambda _{n}/2^{n}}$ . Si ${\textstyle p}$ y ${\textstyle q}$ están en el interior de ${\textstyle K}$ y ${\textstyle p-q=\sum _{i=1}^{k}a_{i}b_{i}}$ (con ${\textstyle a_{k}\neq 0}$ ), entonces ${\textstyle (h(p)-h(q))=\sum _{i=0}^{k}c_{i}b_{i}\in \lambda _{k}K}$ con ${\textstyle c_{k}=\lambda _{k}a_{k}/2}$ , donde la inclusión en ${\textstyle \lambda _{k}K}$ (específicamente el interior de ${\textstyle \lambda _{k}K}$ ) se debe a convexidad y simetría. Pero los puntos de enrejado en el interior de ${\textstyle \lambda _{k}K}$ son, por definición de ${\textstyle \lambda _{k}}$ , siempre expresables como combinación lineal de ${\textstyle b_{1},b_{2},\ldots b_{k-1}}$ , así que cualesquiera dos puntos distintos de ${\textstyle K'=h(K)=\lbrace x'|h(x)=x'\rbrace }$ , estos no pueden ser separados por un vector del enrejado. Por tanto, ${\textstyle K'}$ tiene que estar encerrado en una célula primitiva del enrejado (la cual tiene volumen ${\textstyle {\text{vol}}(\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )}$ ), y por consiguiente ${\textstyle {\text{vol}}(K)/J={\text{vol}}(K')\leq {\text{vol}}(\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )}$ .

Segundo Teorema de Minkowski

Enunciado

Prueba

Referencias

Bibliografía

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