Semigrupo

Un semigrupo es un sistema algebraico de la forma $(A,\circledcirc )$ en la cual A es un conjunto no vacío, $\circledcirc$ es una operación interna definida en A:

{\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circledcirc

Un semigrupo cumple las dos siguientes propiedades:

Operación interna: para cualquiera de los dos elementos del conjunto A operados bajo $\circledcirc$ , el resultado siempre pertenece al mismo conjunto A. Es decir:
$\forall x,y\in A\;:\quad x\circledcirc y\in A$ .

Asociatividad: para cualquier elemento del conjunto A no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elementos (ver grupo abeliano), siempre dará el mismo resultado. Es decir:
$\forall x,y,z\in A\;:\quad x\circledcirc (y\circledcirc z)=(x\circledcirc y)\circledcirc z$ .

En otras palabras, un semigrupo es un magma asociativo. Si además se cumple la propiedad conmutativa:

Conmutatividad: un conjunto A tiene la propiedad conmutativa respecto a la operación interna $\circledcirc$ si:

$\forall a,b\in A\;:\quad a\circledcirc b=b\circledcirc a$

se dice que es un semigrupo conmutativo o abeliano.

Ejemplos

Un ejemplo de semigrupo conmutativo es el conjunto de los números naturales, $N$ con la operación suma, +. Que se representa: $(N,+)\,$ .

{\begin{array}{rccl}+:&N\times N&\longrightarrow &N\\&(a,b)&\longmapsto &c=a+b\end{array}}

Podemos ver que '+' es:

Una operación interna, dado que la suma de dos números naturales es otro número natural:

\forall a,b\in N\;:\quad a+b\in N

.

Una operación asociativa:

\forall a,b,c\in N\;:\quad (a+b)+c=a+(b+c)

.

Y conmutativa:

\forall a,b\in N\;:\quad a+b=b+a

.

Luego $(N,+)\,$ es semigrupo conmutativo o abeliano.

Otros ejemplos son los formados por el conjunto $Z$ ⁺ de los enteros positivos junto con una cualquiera de las siguientes operaciones:

la multiplicación
la obtención del m.c.d.
la obtención del m.c.m.

Estos tres son semigrupos abelianos,^[1]

Consideremos el conjunto potencia de A, P(A) = {X/ X⊂ A}; P(A) tanto con la unión cuanto la intersección de conjuntos es un semigrupo con unidad.^[2] Unidad para la unión es el conjunto vacío; y en este ejemplo, la unidad para la intersección será el conjunto A.
Sea $M_{n}$ el conjunto de la matrices reales de orden n, con la suma de matrices. En tal caso es un semigrupo conmutativo. Lo mismo, cuando se considera la multiplicación es un semigrupo, pero no es conmutativo.^[3]
Sea $P_{n}$ el conjunto de matrices estocásticas con la habitual multiplicación de matrices; si es así es un semigrupo.^[4]

Sea S = {4k+1/ k ∈ ℕ} con la multiplicación habitual de números naturales. Luego S es un semigrupo multiplicativo.

Subsemigrupo

Considerando S⁰ ⊂ S donde S⁰ es un semigrupo con la operación: ■, diremos que S⁰ es un subsemigrupo si x ■ y está en S⁰ para cualquier x, y elementos de S⁰.^[5]

Ejemplos

El conjunto N de los números naturales y la operación suma (+) de naturales, (N,+) es semigrupo:

{\begin{array}{rccl}+:&N\times N&\longrightarrow &N\\&(a,b)&\longmapsto &c=a+b\end{array}}

es un subsemigrupo del semigrupo. (N.+), el conjunto 2N aditivo de los naturales pares:

{\begin{array}{rccl}+:&2N\times 2N&\longrightarrow &2N\\&(a,b)&\longmapsto &c=a+b\end{array}}

\forall a,b\in 2N\;:\quad a=2i,b=2j\;,\quad a+b=2i+2j=2(i+j)=2k=c

4N de los naturales múltiplos de 4, con la adición de naturales:

{\begin{array}{rccl}+:&4N\times 4N&\longrightarrow &4N\\&(a,b)&\longmapsto &c=a+b\end{array}}

\forall a,b\in 4N\;:\quad a=4i,b=4j\;,\quad a+b=4i+4j=4(i+j)=4k=c

subsemigrupo dado que 4N ⊂ 2N ⊂ N.

El conjunto de las matrices diagonales de orden 2, con la suma de matrices, es un subsemigrupo del semigrupo aditivo de la matrices cuadradas de orden 2.^[6]

Cuasi grupo

Un cuasi grupo Q es un sistema de elementos Q(a,b,c,...) en el cual está definida una operación binaria de producto ab tal que, en ab = c cualquiera de los dos de a, b, c determina, de modo único, el tercero como elemento de Q.^[7]