Semiplano

Los matemáticos a veces identifican el plano cartesiano con el plano complejo, de forma que el semiplano superior corresponde al conjunto de números complejos con la parte imaginaria positiva:

${\displaystyle {\mathcal {H}}\equiv \{x+iy\mid y>0;x,y\in \mathbb {R} \}~.}$

El término surge de una visualización común del número complejo x + iy como el punto (x, y) en el plano dotado de coordenadas cartesianas. Cuando el eje y está orientado verticalmente, el "semiplano superior" corresponde a la región situada por encima del eje x y, es decir, a los números complejos para los que y > 0.

Es el dominio de muchas funciones de interés en análisis complejo, especialmente en formas modulares.^[3] El semiplano inferior, definido por y < 0, es igualmente útil, pero menos utilizado por convención. El disco unidad ${\displaystyle \,{\mathcal {D}}\,}$ (el conjunto de todos los números complejos de valor absoluto menor que uno) es equivalente por transformación conforme a ${\displaystyle \,{\mathcal {H}}\,}$ (consúltese "métrica de Poincaré"), lo que significa que normalmente es posible realizar los mismos razonamientos en ${\displaystyle \,{\mathcal {H}}\,}$ y en ${\displaystyle \,{\mathcal {D}}\;.}$

También juega un papel importante en geometría hiperbólica, donde el modelo del semiplano de Poincaré proporciona una forma de examinar el movimiento hiperbólico. La métrica de Poincaré proporciona una métrica hiperbólica en el espacio.^[4]

El teorema de uniformización para superficies establece que el semiplano superior es el espacio de recubrimiento universal de superficies con curvatura de Gauss constante negativa.^[5]

El semiplano superior cerrado es la unión del semiplano superior y del eje real. Es la clausura del semiplano superior.

Las transformaciones afines del semiplano superior incluyen^[6]

(1) movimientos (x, y) → (x + c, y), c ∈ ℝ, y

(2) escalados (x, y) → (λ x,λ y), λ > 0.

Proposición: Sean A y B semicírculos en el semiplano superior con centros en el límite. Entonces existe una transformación afín que hace corresponder a A y a B.

Demostración: Primero, cambiar el centro de A a (0,0). Luego tómese λ = (diámetro de B)/(diámetro de A) y escalar. Luego, trasladar (0,0) al centro de B.

Definición: ${\displaystyle \;{\mathcal {Z}}\equiv {\bigl \{}\,\left(\,\cos ^{2}\theta \,,\;{\tfrac {1}{2}}\sin 2\theta \,\right)\;|\;0<\theta <\pi \,{\bigr \}}~.}$

${\displaystyle \,{\mathcal {Z}}\,}$ se puede reconocer como el círculo de radio ½ centrado en (½, 0), y como el gráfico en coordenadas polares de ${\displaystyle \rho (\theta )=\cos \theta ~.}$

Proposición: (0,0), ${\displaystyle \,\rho (\theta )\,}$ en ${\displaystyle \,{\mathcal {Z}}\,,}$ y ${\displaystyle \,(\,1,\tan \theta \,)\,}$ son colineales.

De hecho, ${\displaystyle \,{\mathcal {Z}}\,}$ es el reflejo de la línea recta ${\displaystyle {\bigl \{}\,(\,1,y\,)\,|\,y>0\,{\bigr \}}\,}$ en la circunferencia goniométrica. Así mismo, la diagonal de (0,0) a ${\displaystyle \,(\,1,\tan \theta \,)\,}$ tiene una longitud al cuadrado de ${\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \,,}$ de modo que ${\displaystyle \,\rho (\theta )=\cos \theta \,}$ es el recíproco de esa longitud.

Una generalización natural en geometría diferencial es el n-espacio hiperbólico ${\displaystyle \,{\mathcal {H}}^{n}\,,}$ el conjunto simplemente conexo de dimensión máxima simétrica, n, la variedad de Riemann con constante curvatura seccional −1.^[8] Con esta terminología, el semiplano superior es ${\displaystyle \,{\mathcal {H}}^{2}\,}$ ya que tiene dimensión 2 real.

En teoría de números, la teoría de formas modulares de Hilbert se ocupa del estudio de ciertas funciones sobre el producto directo ${\displaystyle \,{\mathcal {H}}^{n}\,}$ de n copias del semiplano superior. Otro espacio interesante para los teóricos de los números es el semiespacio superior de Siegel ${\displaystyle \,{\mathcal {H}}_{n}\,,}$,^[9] que es el dominio de las formas modulares de Siegel.

• Entorno de una cúspide
• Curva modular
• Grupo fuchsiano
• Dominio fundamental
• Semiespacio
• Grupo kleiniano
• Grupo modular
• Superficie de Riemann
• Teorema de Schwarz-Ahlfors-Pick
• Pila de módulos de curvas elípticas