Señal analítica

La señal analítica ${\displaystyle x_{a}(t)}$ se construye a partir de una señal real.^[1]

Sea ${\displaystyle x(t)}$ una señal real cuya transformada de Fourier es ${\displaystyle X(\omega )}$. Construyamos ahora la siguiente función:

${\displaystyle X_{a}(\omega )=\left\{{\begin{array}{rl}2X(\omega )&{\textrm {si}}\;\omega >0\\X(\omega )&{\textrm {si}}\;\omega =0\\0&{\textrm {si}}\;\omega <0\end{array}}\right.}$

La señal analítica correspondiente a ${\displaystyle x(t)}$ es la transformada de Fourier inversa de ${\displaystyle X_{a}(\omega )}$:

${\displaystyle x_{a}(t)={\mathcal {F}}^{-1}\{X_{a}(\omega )\}}$

La señal analítica se puede construir también a partir de la transformada de Hilbert de ${\displaystyle x(t)}$.

Sea ${\displaystyle x_{h}(t)={\mathcal {H}}\{x(t)\}}$ la transformada de Hilbert de ${\displaystyle x(t)}$. Ahora podemos construir la señal analítica de la siguiente manera:

${\displaystyle x_{a}(t)=x(t)+ix_{h}(t)\,\!}$

donde «i» es la unidad imaginaria.