Sistema duodecimal

En la actualidad, existen organizaciones en Gran Bretaña^[2] y en Estados Unidos^[1] que promocionan el uso del sistema duodecimal.

Uno de los principales argumentos a favor de la base duodecimal es que permite realizar operaciones aritméticas de forma más sencilla y eficiente para los seres humanos que la base decimal.^[3] Esto se debe a que el 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12), que son 2, 3, 4 y 6; mientras que el 10 solamente tiene dos factores propios: 2 y 5. Debido a esto, las sumas, restas, multiplicaciones y divisiones en base doce son más sencillas (ver tablas más adelante).

Este argumento solo es relevante al hablar de operaciones aritméticas realizadas por seres humanos, ya que para una calculadora o una computadora, la base del sistema de numeración no influye en su complejidad para hacer operaciones aritméticas.^[4]

El matemático Alexander Aitken era un abierto defensor del sistema duodecimal.^[5][6]

Las tablas de multiplicar duodecimales son fáciles de dominar, incluso más que las decimales; y en la enseñanza primaria serían mucho más interesantes, ya que a los niños pequeños les resultaría más fascinante trabajar con doce varillas o bloques que con diez. Cualquiera que domine estas tablas realizará estos cálculos más de una-vez-y-media más rápido en la escala duodecimal que en la decimal. Esta es mi experiencia; estoy seguro de que la experiencia de otros lo confirmaría aún más.

Alexander Craig Aitken

Pero la ventaja cuantitativa final, según mi propia experiencia, es la siguiente: en cálculos variados y extensos de un tipo ordinario y no excesivamente complicado, realizados a lo largo de muchos años, llego a la conclusión de que la eficiencia del sistema decimal podría calificarse en torno a 65 o menos, si asignamos 100 al sistema duodecimal.

Alexander Craig Aitken

A lo largo de la historia, diversas sociedades han utilizado sistemas de numeración duodecimales, o relacionados con este. Se cree que la observación de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un año es el motivo por el cual el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas. Por ejemplo, el sistema sexagesimal de base 60 empleado por los sumerios, de las que provienen algunas divisiones tradicionales todavía vigentes como los 12 meses del año, las 12 horas del sistema horario, o la división de la hora en 60 minutos y estos en 60 segundos.

En algunas zonas rurales existe el método tradicional de contar en docenal, usando el pulgar como puntero sobre las falanges de los otros cuatro dedos de la mano, obteniéndose así doce unidades (3 falanges por cada uno de los 4 dedos). Esta práctica tradicional está documentada en distintas zonas rurales del mundo como en Gran Canaria.^[7]

Algunos ejemplos notables del uso del sistema duodecimal son:

• El calendario gregoriano divide el año en 12 meses, y el sistema horario mas común divide el día en dos periodos de 12 horas, o en uno de 24 horas.
• El 12 es muy usado en muchas tradiciones religiosas y culturales, como la judía y cristiana (12 tribus de Israel, 12 apóstoles, 12 patriarcas), en la mitología Griega y la Romana había 12 dioses olímpicos, o en el chiismo duodecimano que cree en doce imanes. También se observa esta cantidad en los 12 signos del zodiaco, o los 12 animales en la astrología china.
• Debido a que el 12 es un número abundante, se emplea con profusión en las unidades de medida, por ejemplo, un pie son 12 pulgadas, una libra troy equivale a 12 onzas, una docena de artículos tiene 12 artículos, una gruesa tiene 12 docenas, etc.
• Se vende platos, cuchillos, tenedores, ollas, en la actualidad, por media docena, un cuarto de docena; igualmente los cohetes de pólvora por media gruesa, lo mismo que las luces de bengala.
• En la música occidental, cada octava se organiza en 12 semitonos, que forman la escala cromática (1. Do, 2. Do♯/Re♭, 3. Re, 4. Re♯/Mi♭, 5. Mi, Fa, 6. Fa♯/Sol♭, 7. Sol, 8. Sol♯/La♭, 9. La, 10. La♯/Si♭, 11. Si, 12. Vuelta a Do).

En cualquier sistema de numeración posicional de base racional (como el decimal y el duodecimal), todas aquellas fracciones irreducibles cuyo denominador contenga factores primos distintos de los que factorizan la base, carecerán de representación finita, obteniéndose para ellas una serie infinita de dígitos de valor fraccionario (comúnmente llamados "decimales", si bien resulta absurdo emplear este término para bases distintas de la decimal). Además, esta serie infinita de dígitos presentará un período de recurrencia, dándose recurrencia pura cuando no haya ningún factor primo en común con la base, y recurrencia mixta (aquella en la que hay dígitos fraccionarios al comienzo que no forman parte del período) cuando haya al menos un factor primo en común con la base. Así pues, en base duodecimal es infinita y recurrente la representación de todas aquellas fracciones cuyo denominador contiene factores primos distintos de 2 y 3; mientras que en base decimal se da esto cuando son distintos de 2 y 5:

Por otra parte, en cualquier sistema de numeración posicional de base racional, todo número irracional no solo carece de representación finita, sino que además su serie infinita de dígitos carece de periodo de recurrencia. A continuación se ofrecen los primeros dígitos de la representación en base duodecimal de varios de los números irracionales más importantes:

Los primeros dígitos en base duodecimal de otro número destacable, la constante de Euler-Mascheroni, pero de la que por el momento se desconoce si es racional o irracional:

En base 12, un número primo solo puede acabar en 1, 5, 7 o B (con las únicas excepciones de los números primos 2 y 3). Las ocho posibilidades restantes generan siempre números compuestos:

Detección de múltiplos

• Los numerales que terminan en 0, 2, 4, 6, 8 y A son múltiplos de dos
• De estos, los que rematan en 0, 4 y 8 son además divisibles por cuatro
• Los numerales acabados en 0, 3, 6 y 9 son múltiplos de tres
• De estos, los terminados en 0 y 6 son también múltiplos de seis
• De todos los anteriores, los que concluyen en 0 son por su lado, múltiplos de doce.
• Sea el número N = xyz...w en base 12, si la suma cifral x + y + z +... + w = 11 o múltiplo de 11, el número N es divisible por 11 = B ( propiedad similar de 9, en base 10). Ejemplo 542_D
• De igual modo, funciona el criterio de la diferencia de cifras de orden par menos las de orden impar, para detectar si un número en base 12 es múltiplo de 11_D = 13.^[8]
• Si un numeral N de base 12 termina en 2 ceros o bien las dos últimas cifras como numeral duodecimal es múltiplo de 8, entonces N es divisible por 8; ejms: 3514, 4934.
• Cuando un numeral K de base 12, remata en 2 ceros o el numeral formado por las 2 últimas cifras duodecimales es múltiplo de 9, entonces K es múltiplo de 9. Ejm: 4A23, 7B16.
• El numeral duodecimal N es múltiplo de 16 si remata en 2 ceros o bien las dos últimas cifras forman un múltiplo duodecimal de 16. Ejm: 2928, BA30.^[9]

Naturales primos en notaciones decimal y duodecimal

A continuación se lista la serie de números primos (hasta aquellos de menos tres dígitos) en base duodecimal:

• Sistema de numeración
  • Sistema binario (base 2)
  • Sistema ternario (base 3)
  • Sistema quinario (base 5)
  • Sistema senario (base 6, 2 × 3)
  • Sistema octal (base 8, 2³)
  • Sistema nonario (base 9, 3²)
  • Sistema decimal (base diez, 10, 2 × 5)
  • Sistema hexadecimal (base 16, 2⁴)
  • Sistema vigesimal (base 20, 2² × 5)
  • Sistema sexagesimal (base 60, 2² × 3 × 5)
• Nibble