Sistema lagrangiano

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Una densidad lagrangiana L (o, simplemente, un lagrangiano) de orden r se define como una n-forma, n = dim X, de variedades de jets orden r J^rY sobre Y.

Un lagrangiano L puede ser introducido como un elemento del bicomplejo variacional del álgebra graduada diferencial O^∗_∞(Y) de formas exteriores en la variedad de jets de Y → X. El operador cohomólogo de este bicomplejo contiene el operador variacional δ que, actuando en L, define el operador asociado de Euler-Lagrange δL.

Dado el haz coordenado x^λ, yⁱ en un haz de fibras Y y las coordenadas adaptadas x^λ, yⁱ, yⁱ_Λ, (Λ = (λ₁, ...,λ_k), |Λ| = k ≤ r) en las variedades de jets J^rY, un lagrangiano L y su operador de Euler-Lagrange se expresan como

${\displaystyle L={\mathcal {L}}(x^{\lambda },y^{i},y_{\Lambda }^{i})\,d^{n}x,}$

${\displaystyle \delta L=\delta _{i}{\mathcal {L}}\,dy^{i}\wedge d^{n}x,\qquad \delta _{i}{\mathcal {L}}=\partial _{i}{\mathcal {L}}+\sum _{|\Lambda |}(-1)^{|\Lambda |}\,d_{\Lambda }\,\partial _{i}^{\Lambda }{\mathcal {L}},}$

donde

${\displaystyle d_{\Lambda }=d_{\lambda _{1}}\cdots d_{\lambda _{k}},\qquad d_{\lambda }=\partial _{\lambda }+y_{\lambda }^{i}\partial _{i}+\cdots ,}$

denotan las derivadas totales.

Por ejemplo, un lagrangiano de primer orden y su operador de Euler-Lagrange de segundo orden toman la forma

${\displaystyle L={\mathcal {L}}(x^{\lambda },y^{i},y_{\lambda }^{i})\,d^{n}x,\qquad \delta _{i}L=\partial _{i}{\mathcal {L}}-d_{\lambda }\partial _{i}^{\lambda }{\mathcal {L}}.}$

El núcleo de un operador de Euler-Lagrange proporciona las ecuaciones de Euler-Lagranges δL = 0.

Una cohomología del bicomplejo variacional conduce a la llamada fórmula variacional

${\displaystyle dL=\delta L+d_{H}\Theta _{L},}$

donde

${\displaystyle d_{H}\Theta _{L}=dx^{\lambda }\wedge d_{\lambda }\phi ,\qquad \phi \in O_{\infty }^{*}(Y)}$

es el diferencial total y θ_L es un equivalente de Lepage de L. El teorema de Noether y el segundo teorema de Noether son corolarios de esta fórmula variacional.

Extendido a variedades clasificadas, el bicomplejo variacional proporciona una descripción de los sistemas lagrangianos clasificados de variables pares e impares.^[2]

De manera diferente, los operadores lagrangianos, los de Euler-Lagrange y las ecuaciones de Euler-Lagrange se introducen en el marco del cálculo de variaciones.

En la mecánica clásica, las ecuaciones de movimiento son ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden en una variedad M o varios haces de fibras Q sobre ℝ. Una solución de las ecuaciones de movimiento se llama movimiento.^[3][4]

• Mecánica lagrangiana
• Cálculo de variaciones
• Teorema de Noether
• Identidades de Noether
• Haz de jets
• Jet
• Bicomplejo variacional