Skyrmion

En la teoría de Skyrme, una teoría cuántica de campos, se define el campo de Skyrme como un elemento de ${\displaystyle SU(2)}$, esto es

${\displaystyle UU^{\dagger }=\mathbb {1} ,\quad det(U)=1\Rightarrow U(x)=\sigma (x)\mathbb {1} +i{\boldsymbol {\pi }}(x){\boldsymbol {\tau }}}$

donde ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ son las matrices de Pauli ${\displaystyle 2\times 2}$ y ${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}}$ representan campos de piones. Para garantizar que el campo pertenece a ${\displaystyle SU(2)}$ es necesario imponer que

${\displaystyle \sigma (x)^{2}+{\boldsymbol {\pi }}(x)^{2}=1}$

Esta simetría se escoge en analogía directa con la simetría característica de la QCD a dos quarks. En general, se impone que el campo tienda al elemento identidad en el infinto, para garantizar que tiene energía finita. Por como es definido el campo, puede entenderse como una aplicación de la forma

${\displaystyle U(x):\mathbb {R} ^{3}\cup \{\infty \}\rightarrow S^{3}}$

donde ${\displaystyle S^{3}}$ es la 3-esfera de radio unidad. A este tipo de aplicaciones se les puede asignar una carga topológica, i.e un invariante topológico conservado bajo transformaciones continuas del espacio, y que es necesariamente un número entero. En particular:

${\displaystyle B[U]\equiv {\frac {1}{24\pi ^{2}}}\varepsilon _{ijk}\int \operatorname {Tr} \left(L_{i}L_{j}L_{k}\right)d^{3}x={\frac {1}{24\pi ^{2}}}\varepsilon ^{ijk}\int \operatorname {Tr} \left(U^{\dagger }\partial _{i}UU^{\dagger }\partial _{j}UU^{\dagger }\partial _{k}U\right)d^{3}x\in \mathbb {Z} }$

donde se ha definiado convenientemente la corriente invariante a izquierdas

${\displaystyle L_{\mu }\equiv U^{-1}\partial _{\mu }U\in {\mathfrak {su}}(2)}$

El Skrymion será la solución clásica de las ecuaciones de movimiento asociado a la densidad lagrangiana del modelo de Skyrme concreto a estudiar.