Solución de polvo para la relatividad general

Dado que el tensor de energía-tensión es una matriz de rango uno, un breve cálculo muestra que el polinomio característico

${\displaystyle \chi (\lambda )=\lambda ^{4}+a_{3}\,\lambda ^{3}+a_{2}\,\lambda ^{2}+a_{1}\,\lambda +a_{0}}$

del tensor de Einstein en una solución de polvo tendrá la forma

${\displaystyle \chi (\lambda )=\left(\lambda -8\pi \mu \right)\,\lambda ^{3}}$

Al multiplicar este producto, encontramos que los coeficientes deben satisfacer las siguientes tres condiciones algebraicamente independientes, e invariantes:

${\displaystyle a_{0}\,=a_{1}=a_{2}=0}$

Utilizando las identidades de Newton, en términos de las sumas de las potencias de las raíces (autovalores), que son también las trazas de las potencias del propio tensor de Einstein, estas condiciones se convierten en:

${\displaystyle t_{2}=t_{1}^{2},\;\;t_{3}=t_{1}^{3},\;\;t_{4}=t_{1}^{4}}$

En notación de índice tensorial, esto se puede escribir utilizando el escalar de Ricci como:

${\displaystyle {G^{a}}_{a}=-R}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a}=R^{2}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a}=-R^{3}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_{a}=R^{4}}$

Este criterio de valores propios es útil en ocasiones para buscar soluciones de polvo, ya que muestra que muy pocas variedades pseudoriemannianas podrían admitir una interpretación, en relatividad general, como solución de polvo.

• Grupo de Lorentz