Subasta Vickrey-Clarke-Groves

Para cualquier conjunto de artículos subastados ${\displaystyle M=\{t_{1},\ldots ,t_{m}\}}$ y cualquier conjunto de postores norte ${\displaystyle N=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}}$, Sea ${\displaystyle V_{N}^{M}}$ el valor social de la subasta de VCG para una determinada combinación de oferta. Es decir, cuánto valora cada persona los artículos que acaba de ganar, sumados para todos. El valor del artículo es cero si no ganan. Para un postor ${\displaystyle b_{i}}$ y un item ${\displaystyle t_{j}}$, deje que la oferta del postor para el artículo sea ${\displaystyle v_{i}(t_{j})}$. La notación ${\displaystyle A\setminus B}$ significa el conjunto de elementos de A que no son elementos de B.

Asignación

Un postor ${\displaystyle b_{i}}$ cuya oferta por un artículo t ${\displaystyle t_{j}}$ es una "sobreabundancia", es decir( ${\displaystyle v_{i}(t_{j})}$, gana el artículo, pero paga ${\displaystyle V_{N\setminus \{b_{i}\}}^{M}-V_{N\setminus \{b_{i}\}}^{M\setminus \{t_{j}\}}}$, que es el costo social de su ganancia en que incurren el resto de los agentes.

Explicación

De hecho, el conjunto de postores distintos de ${\displaystyle b_{i}}$ Es ${\displaystyle N\setminus \{b_{i}\}}$. Cuando el artículo ${\displaystyle t_{j}}$ está está disponible, podrían alcanzar el bienestar ${\displaystyle V_{N\setminus \{b_{i}\}}^{M}.}$ El ganador del artículo por ${\displaystyle b_{i}}$ reduce el conjunto de elementos disponibles a ${\displaystyle M\setminus \{t_{j}\}}$, sin embargo, para que el bienestar alcanzable sea ahora ${\displaystyle V_{N\setminus \{b_{i}\}}^{M\setminus \{t_{j}\}}}$. La diferencia entre los dos niveles de bienestar es, por lo tanto, la pérdida de bienestar alcanzable sufrida por el resto de los licitantes, como se predijo, dado el ganador segundo ${\displaystyle b_{i}}$ consiguió el artículo ${\displaystyle t_{j}}$. Esta cantidad depende de las ofertas del resto de los agentes y es desconocida para el agente ${\displaystyle b_{i}}$.

La utilidad del ganador

El pujador ganador cuya oferta es el verdadero valor ${\displaystyle A}$ para el artículo ${\displaystyle t_{j}}$, ${\displaystyle v_{i}(t_{j})=A,}$ obtiene la máxima utilidad ${\displaystyle A-\left(V_{N\setminus \{b_{i}\}}^{M}-V_{N\setminus \{b_{i}\}}^{M\setminus \{t_{j}\}}\right).}$

Supongamos que dos manzanas se subastan entre tres postores.

• El postor A quiere una manzana y está dispuesto a pagar $ 5 por esa manzana.
• El postor B quiere una manzana y está dispuesto a pagar $ 2 por ella.
• El postor C quiere dos manzanas y está dispuesto a pagar $ 6 para tenerlas a ambas, pero no está interesado en comprar una sin la otra.

Primero, el resultado de la subasta se determina maximizando las ofertas: las manzanas van al licitador A y al licitador B, ya que su oferta combinada de $ 5 + $ 2 = $ 7 es mayor que la oferta de dos manzanas por el licitador C que está dispuesto a pagar solamente $ 6. Por lo tanto, después de la subasta, el valor alcanzado por el postor A es de $ 5, el postor B es $ 2 y el postor C es $ 0 (ya que el postor C no obtiene nada). Tenga en cuenta que la determinación de los ganadores es esencialmente un Problema de la mochila.

A continuación, la fórmula para decidir pagos da:

• Para el postor A : los postores B y C tienen un valor total de $ 2 (el valor percibido de los artículos que han ganado: $ 2 + $ 0). Si se eliminó A, las ofertas de maximización le darían a C las manzanas mientras que B no obtiene nada. Por lo tanto, en este escenario modificado, el valor alcanzado por el postor B es de $ 0 y por parte del postor C es de $ 6. El valor total logrado en este escenario modificado por B y C es de $ 6 ($ 0 + $ 6). Entonces A paga $ 4 ($ 6 - $ 2).
• Para el postor B : los postores A y C tienen un valor total de $ 5 ($ 5 + $ 0). Si se eliminara B, las ofertas de maximización darían ambas manzanas a C mientras que A no obtendría nada. Por lo tanto, en este escenario modificado, el valor alcanzado por el postor A es de $ 0 y el valor alcanzado por el postor C es de $ 6, lo que hace que el valor total sea de $ 6 ($ 0 + $ 6). Entonces B paga $ 1 ($ 6 - $ 5).
• Del mismo modo, el postor C paga $ 0 (($ 5 + $ 2) - ($ 5 + $ 2)).

Después de la subasta, A está $ 1 mejor que antes (pagando $ 4 para ganar $ 5 de utilidad), B está $ 1 mejor que antes (pagando $ 1 para ganar $ 2 de utilidad), y C es neutral (sin haber ganado nada).