Superficie de Bézier

Las superficies de Bézier fueron descritas por primera vez en 1962 por el ingeniero francés Pierre Bézier,^[2] quien las ideó para diseñar carrocerías de automóvil en la empresa Rernault. Las superficies de Bézier pueden ser de cualquier grado, pero las bicúbicas generalmente proporcionan suficientes grados de libertad para la mayoría de las aplicaciones.

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Una superficie de Bézier dada de grado (n, m) se define por un conjunto de (n + 1)(m +&nbsp ;1) puntos de control 'k_i,j, donde i = 0, ..., n y j = 0, ..., m. Asigna el cuadrado unidad a una superficie suave y continua incrustada dentro del espacio que contiene los ki,j elementos, por ejemplo, si los k_i,j son todos puntos en un universo de cuatro dimensiones, entonces la superficie estará dentro de un espacio de cuatro dimensiones.

Una superficie de Bézier bidimensional se puede definir como la superficie paramétrica donde la posición de un punto p en función de las coordenadas paramétricas u,v viene dada por:^[3]

${\displaystyle \mathbf {p} (u,v)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}B_{i}^{n}(u)\,B_{j}^{m}(v)\,\mathbf {k} _{i,j}}$

evaluada sobre el cuadrado unitario, donde

${\displaystyle B_{i}^{n}(u)={n \choose i}u^{i}(1-u)^{n-i}}$

es una base de polinomios de Bernstein, y

${\displaystyle {n \choose i}={\frac {n!}{i!(n-i)!}}}$

es un coeficiente binomial.

Algunas propiedades de las superficies Bézier son:

• Una superficie de Bézier se transformará de la misma manera que sus puntos de control en cualquier aplicación lineal o traslación.
• Todas las líneas rectas u = constant y v = constant en el espacio (u, v) y, en particular, los cuatro bordes del cuadrado unitario deformado (u, v) son curvas de Bézier.
• Una superficie de Bézier queda completamente dentro de la envolvente convexa de sus puntos de control y, por lo tanto, también completamente dentro del cuadro delimitador de sus puntos de control en cualquier sistema de coordenadas cartesianas determinado.
• Los puntos del parche correspondientes a las esquinas del cuadrado unitario deformado coinciden con cuatro de los puntos de control.
• Sin embargo, una superficie de Bézier generalmente no pasa por sus otros puntos de control.

Generalmente, el uso más común de las superficies de Bézier es como redes de parches bicúbicos (donde m = n = 3). La geometría de un único parche bicúbico queda así completamente definida por un conjunto de 16 puntos de control. Por lo general, estos elementos se vinculan entre sí para formar un spline superficial, de manera similar a como las curvas de Bézier se enlazan para formar una curva B-spline.

Las superficies de Bézier más simples se forman a partir de parches bicuadráticos (m = n = 2), o triángulos de Bézier.