Tensor de Killing-Yano

Todo vector de Killing es un tensor de Killing de orden 1 y también es un tensor de Killing-Yano.

El tensor completamente antisimétrico (conocido como tensor de Levi-Civita) ${\displaystyle \epsilon _{a_{1}a_{2}...a_{n}}}$ (donde n es la dimensión de la variedad) es un tensor de Killing-Yano, siendo su derivada covariante siempre cero (véase nulidad de la derivada covariante del tensor dualizador).

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Hay varias formas de construir tensores de Killing (simétricos) a partir de tensores de Killing-Yano.

En primer lugar, se pueden obtener dos tensores de Killing triviales a partir de los tensores de Killing-Yano:

• A partir de un tensor de Killing-Yano de orden 1 ${\displaystyle \xi _{a}}$, se puede construir un tensor de Killing ${\displaystyle K_{ab}}$ de orden 2 según

${\displaystyle K_{ab}=\xi _{a}\xi _{b}}$.

• A partir del tensor completamente antisimétrico ${\displaystyle \epsilon _{a_{1}a_{2}...a_{n}}}$, se puede construir el tensor de Killing trivial

${\displaystyle K_{ab}=\epsilon _{ba_{2}...a_{n}}\epsilon ^{a_{2}...a_{n}c}g_{ca}=-6g_{ab}}$.

Más interesante aún, a partir de dos tensores de Killing-Yano de orden 2 ${\displaystyle A_{ab}}$ y ${\displaystyle B_{ab}}$, se puede construir el tensor de Killing de orden 2 ${\displaystyle K_{ab}}$ según

${\displaystyle K_{ab}=g^{cd}\left(A_{ac}B_{db}+B_{ac}A_{db}\right)}$.

A partir de un tensor de Killing-Yano de orden n-1, ${\displaystyle A_{a_{2}...a_{n}}}$, se puede construir el vector asociado en el sentido de Hodge (véase dual de Hodge),

${\displaystyle A^{a}=\epsilon ^{aa_{2}...a_{n}}A_{a_{2}...a_{n}}}$.

Debido a que el tensor ${\displaystyle A_{a_{2}...a_{n}}}$ es de Killing-Yano, el vector A no es de Killing-Yano, pero obedece a la ecuación

${\displaystyle D_{a}A_{b}={\frac {1}{n}}g_{ab}D_{c}A^{c}}$.

Esta propiedad permite construir un tensor de Killing ${\displaystyle K_{ab}}$ a partir de dos de estos vectores, definido por:

${\displaystyle K_{ab}=A_{a}B_{b}+A_{b}B_{a}-2A^{c}B_{c}g_{ab}}$.

Cualquier combinación lineal de tensores de Killing-Yano también es un tensor de Killing-Yano.

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Una buena parte de las propiedades del espacio-tiempo de cuatro dimensiones involucran los tensores de Killing-Yano, según demostraron H. Stephani y C. D. Collinson en la década de 1970.^[2][3][4]

• Si un espacio-tiempo admite un tensor de Killing-Yano no degenerado, entonces esto se puede escribir en la forma

${\displaystyle A_{ab}=X(l_{a}k_{b}-k_{a}l_{b})+iY(m_{a}{\bar {m}}_{b}-{\bar {m}}_{a}m_{b})}$,

donde k, l, m y ${\displaystyle {\bar {m}}}$ forman una tétrada y las funciones X e Y obedecen a un cierto número de ecuaciones diferenciales. Además, el tensor de Killing-Yano obedece a la siguiente relación con el tensor de Ricci:^[3][4]

${\displaystyle R_{a}^{c}A_{cb}+R_{b}^{c}A_{ca}=0}$.

• Las soluciones de las ecuaciones del campo de Einstein en el vacío y tipo D en la clasificación de Petrov admiten un tensor de Killing y un tensor de Killing-Yano, ambos de orden 2 y unidos por la fórmula dada anteriormente.^[3][4]
• Si un espacio-tiempo admite un tensor de Killing-Yano degenerado de orden 2 ${\displaystyle A_{ab}}$, entonces esto se escribe en la forma

${\displaystyle A_{ab}=k_{a}p_{b}-p_{a}k_{b}}$,

k es un vector de Killing de género lumínico. El tensor de Weyl es en este caso del tipo N en la clasificación de Petrov, y k es su vector propio no trivial. Además, a tiene la relación dada anteriormente con el tensor de Riemann.^[2][4]

• Si un espacio-tiempo admite un tensor de Killing-Yano de orden 3, entonces o el vector asociado por la dualidad de Hodge es un vector de género lumínico constante, o el espacio es un plano conforme.^[2][4]