Tensor de dos puntos

Un tensor convencional puede verse como una transformación de vectores en un sistema de coordenadas a otros vectores en el mismo sistema de coordenadas.^[3] Por el contrario, un tensor de dos puntos transforma vectores de un sistema de coordenadas a otro sistema de coordenadas. Es decir, un tensor convencional

${\displaystyle \mathbf {Q} =Q_{pq}(\mathbf {e} _{p}\otimes \mathbf {e} _{q})}$,

de forma que se transforma activamente un vector u en un vector v tal que

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {Q} \mathbf {u} }$

donde v y u se miden en el mismo espacio y su representación de coordenadas es con respecto a la misma base (denotada por la "e").

Por el contrario, un tensor de dos puntos, G, se escribe como

${\displaystyle \mathbf {G} =G_{pq}(\mathbf {e} _{p}\otimes \mathbf {E} _{q})}$

y transforma un vector, U definido en el sistema E, en un vector, v definido en el sistema e como

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {GU} }$.

Supóngase que se tienen dos sistemas de coordenadas,^[4] uno denotado con una comilla y el otro no, y las componentes de un vector se transforman entre ellos como

${\displaystyle v'_{p}=Q_{pq}v_{q}}$.

Para tensores, supóngase que se tiene que

${\displaystyle T_{pq}(e_{p}\otimes e_{q})}$.

un tensor en el sistema ${\displaystyle e_{i}}$. En otro sistema, sea el mismo tensor dado por

${\displaystyle T'_{pq}(e'_{p}\otimes e'_{q})}$.

Se puede decir que

${\displaystyle T'_{ij}=Q_{ip}Q_{jr}T_{pr}}$.

Entonces

${\displaystyle T'=QTQ^{\mathsf {T}}}$

es la transformación tensorial habitual. Pero un tensor de dos puntos entre estos sistemas es simplemente

${\displaystyle F_{pq}(e'_{p}\otimes e_{q})}$

que se transforma como

${\displaystyle F'=QF}$.

El ejemplo más sencilla de un tensor de dos puntos es el tensor de transformación, el Q en el párrafo anterior. Teniendo en cuenta que

${\displaystyle v'_{p}=Q_{pq}u_{q}}$.

Ahora, escribiendo en su totalidad,

${\displaystyle u=u_{q}e_{q}}$

y también

${\displaystyle v=v'_{p}e'_{p}}$.

Esto entonces requiere que Q tenga la forma

${\displaystyle Q_{pq}(e'_{p}\otimes e_{q})}$.

Por definición de producto tensorial,

${\displaystyle (e'_{p}\otimes e_{q})e_{q}=(e_{q}.e_{q})e'_{p}=3e'_{p}}$

(1)

Entonces se puede escribir

${\displaystyle u_{p}e_{p}=(Q_{pq}(e'_{p}\otimes e_{q}))(v_{q}e_{q})}$

De este modo

${\displaystyle u_{p}e_{p}=Q_{pq}v_{q}(e'_{p}\otimes e_{q})e_{q}}$

Incorporando (1), se obtiene que

${\displaystyle u_{p}e_{p}=Q_{pq}v_{q}e_{p}}$.

• Tensor mixto
• Covarianza y contravarianza