Teorema de Beatty

${\displaystyle \mathbb {N} ^{*}}$

El resultado se vuelve intuitivo si se introduce la densidad de una parte A de ${\displaystyle \mathbb {N} ^{*}}$, es el límite - si existe - cuando n tiende a ${\displaystyle +\infty }$ de ${\displaystyle {\frac {{\textrm {card}}A\cap \{1,\dots ,n\}}{n}}}$. Por ejemplo, el conjunto de números pares (o el conjunto de números impares) tiene una densidad que es de 1/2, el conjunto de números primos tiene una densidad de 0.

Se ve fácilmente que los conjuntos ${\displaystyle \{E(n\alpha ),n\in \mathbb {N} ^{*}\}}$ donde ${\displaystyle \alpha }$ es un real positivo tienen densidad ${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}}$. Los soportes de las secuencias P y Q forman una partición de ${\displaystyle \mathbb {N} ^{*}}$, luego la suma de sus densidades vale 1 :

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$

Además, p y q no pueden ser racionales los dos, dado que si por caso ${\displaystyle p={\frac {a_{1}}{b_{1}}},q={\frac {a_{2}}{b_{2}}}}$, entonces ${\displaystyle E(b_{1}a_{2}p)=E(b_{2}a_{1}q)(=a_{1}a_{2})}$. Las sucesiones P y Q no tienen ningún elemento en común. Una de las dos es irracional, por consiguiente las dos son irracionales (pues ${\displaystyle p^{-1}+q^{-1}=1}$).

Recíprocamente, si p et q son irracionales y ${\displaystyle p^{-1}+q^{-1}=1}$, se prueba por absurdo que los soportes de las sucesiones P y Q son disjuntas. Sea k un entero que se escribe bajo la forma ${\displaystyle k=E(np)=E(mq)}$.

Por definición de parte entera, se tienen las inecuaciones siguientes :

${\displaystyle k\leq np<k+1{\mbox{ y }}k\leq mq<k+1}$

Si se divide la primera inecuación por p, y la segunda por q :

${\displaystyle {\frac {k}{p}}\leq n<{\frac {k}{p}}+{\frac {1}{p}}{\mbox{ y }}{\frac {k}{q}}\leq m<{\frac {k}{q}}+{\frac {1}{q}}}$

Sumando las dos inecuaciones, se obtiene :

${\displaystyle k\leq n+m<k+1}$

k, n y m siendo enteros, esto imlica ${\displaystyle k=n+m}$; se sigue forzosamente la igualdad entre las dos inecuaciones precedentes. Entonces k = np y k = mq. Lo cual es absurdo dado que p y q son irracionales.

Ahora se demuestra que todo entero natural no nulo es alcanzado por una de las dos sucesiones. Sea ${\displaystyle n\geq 1}$ y k = E(np). k es alcanzado por la sucesión P, entonces no por la sucesión Q, existe un único entero m tal que :

${\displaystyle E(mq)<k<E((m+1)q)}$.

De hecho, el entero E(mq) es el entero más grande de la sucesión Q inferior a k. Las aplicaciones ${\displaystyle r\mapsto E(rp)}$ y ${\displaystyle r\mapsto E(rq)}$ son inyectivas dado que p y q son mayores que 1. El intervalo ${\displaystyle \{1,\dots ,k\}}$ contiene entonces ${\displaystyle m+n}$ elementos de sucesiones P y Q (dado que ambas sucesiones tienen soportes disjuntos). Para concluir, es suficiente con probar que k = n + m. Se tiene :

${\displaystyle {\frac {k}{p}}\leq n<{\frac {k+1}{p}}{\mbox{ et }}{\frac {k}{q}}-1<m<{\frac {k+1}{q}}}$

Sumando, se sigue que k - 1 < n + m < k + 1, o bien k = n + m. QED.