Teorema de Beckman-Quarles
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En geometría, el teorema de Beckman–Quarles establece que si una transformación del plano euclídeo o de un espacio euclídeo de dimensión superior preserva las distancias unitarias, entonces preserva todas las distancias euclídeas. Equivalentemente, todo homomorfismo desde el grafo de distancia unitaria del plano hacia sí mismo debe ser una isometría del plano. El teorema lleva el nombre de Frank S. Beckman y Donald A. Quarles Jr., quienes publicaron este resultado en 1953; posteriormente fue redescubierto por otros autores y demostrado de múltiples maneras. También se conocen teoremas análogos para subconjuntos racionales de espacios euclídeos o para la geometría no euclídea.
Formalmente, el resultado es el siguiente. Sea una función o función multivaluada de un espacio euclídeo de dimensión hacia sí mismo, y supongamos que, para cada par de puntos y que están a una distancia unitaria entre sí, cada par de imágenes y también están a una distancia unitaria entre sí. Entonces, debe ser una isometría: es una función inyectiva que preserva las distancias entre todos los pares de puntos.[1]
Una forma de reformular el teorema de Beckman–Quarles implica homomorfismos de grafos, que son aplicaciones entre grafos no dirigidos que llevan vértices a vértices y aristas a aristas. Para el grafo de distancia unitaria cuyos vértices son todos los puntos del plano, con una arista entre dos puntos cualesquiera a distancia unitaria, un homomorfismo de este grafo hacia sí mismo es lo mismo que una transformación del plano que preserva las distancias unitarias. Así, el teorema de Beckman–Quarles establece que los únicos homomorfismos de este grafo hacia sí mismo son los que provienen de isometrías del plano.[2] Para este grafo, todos los homomorfismos son simetrías del grafo, la propiedad definitoria de una clase de grafos llamada núcleos.[3]
Además de las demostraciones originales de Beckman y Quarles del teorema,[1] y las demostraciones en artículos posteriores que redescubrieron el resultado,[4][5][6] se han publicado varias demostraciones alternativas.[7][8][9] Si es el conjunto de distancias preservadas por una aplicación , entonces, por la desigualdad triangular, ciertas comparaciones de otras distancias con miembros de son preservadas por . Por lo tanto, si se puede demostrar que es un conjunto denso, entonces todas las distancias deben ser preservadas. La idea principal de varias demostraciones del teorema de Beckman–Quarles es usar la rigidez estructural de ciertos grafos de distancia unitaria, como el grafo de un símplex regular, para mostrar que una aplicación que preserva las distancias unitarias debe preservar suficientes otras distancias para formar un conjunto denso.[9]
Contraejemplos en otros espacios
Beckman y Quarles observan que el teorema no es cierto para la recta real (espacio euclídeo unidimensional). Como ejemplo, consideremos la función que devuelve si es un número entero y devuelve en caso contrario. Esta función cumple con las condiciones previas del teorema: preserva las distancias unitarias. Sin embargo, no preserva las distancias entre enteros y no enteros.[1]
Beckman y Quarles proporcionan otro contraejemplo que muestra que su teorema no puede generalizarse a un espacio de dimensión infinita, el espacio de Hilbert de secuencias sumables al cuadrado de números reales. «Sumable al cuadrado» significa que la suma de los cuadrados de los valores en una secuencia de este espacio debe ser finita. La distancia entre dos secuencias cualesquiera puede definirse de la misma manera que la distancia euclídea para espacios de dimensión finita, sumando los cuadrados de las diferencias de coordenadas y luego tomando la raíz cuadrada. Para construir una función que preserva las distancias unitarias pero no otras distancias, Beckman y Quarles componen dos funciones discontinuas:
La primera función mapea cada punto del espacio de Hilbert a un punto cercano en un subespacio denso numerable. Por ejemplo, el subespacio denso podría elegirse como el subespacio de secuencias de números racionales. Siempre que esta transformación mueva cada punto una distancia menor que , mapeará puntos a distancia unitaria entre sí a imágenes distintas.
La segunda función mapea este conjunto denso a un símplex unitario numerable, un conjunto infinito de puntos todos a distancia unitaria entre sí. Un ejemplo de un símplex numerable en este espacio consiste en las secuencias de números reales que toman el valor en una sola posición y son cero en todas las demás. Hay infinitas secuencias de esta forma, y la distancia entre dos secuencias cualesquiera de este tipo es uno. Esta segunda función debe ser inyectiva pero, por lo demás, puede elegirse arbitrariamente.
Cuando estas dos transformaciones se combinan, mapean cualquier par de puntos a distancia unitaria entre sí a dos puntos diferentes en el subespacio denso, y de allí los mapean a dos puntos diferentes del símplex, que necesariamente están a distancia unitaria. Por lo tanto, su composición preserva las distancias unitarias. Sin embargo, no es una isometría, porque mapea cada par de puntos, sin importar su distancia original, ya sea al mismo punto o a una distancia unitaria.[1][10]
