Teorema de Cayley

Sea G un grupo y g un elemento de este grupo. Se define la aplicación ${\displaystyle t_{g}}$ de G en G como la traslación a la izquierda:

${\displaystyle \forall x\in G\qquad t_{g}(x)=gx}$.

La asociatividad de la ley de grupos confirma que:

${\displaystyle (\star )\qquad \forall g,h\in G\qquad t_{gh}=t_{g}\circ t_{h}}$.

Se deduce en particular que ${\displaystyle t_{g}}$ es una permutación (biyección) de inversa (también biyectiva) ${\displaystyle t_{g^{-1}}}$, lo que permite definir una aplicación ${\displaystyle \varphi }$ del grupo G en el grupo S(G) (el grupo de permutaciones o biyecciones ${\displaystyle G\rightarrow G}$ con la operación de la composición) por:

${\displaystyle \forall g\in G\qquad \varphi (g)=t_{g}}$

• Por ${\displaystyle (\star )}$, ${\displaystyle \varphi }$ es un homomorfismo de grupos.

• Por tanto, la imagen de ${\displaystyle \varphi }$, notada Im(${\displaystyle \varphi }$), es un subgrupo de S(G).

• Demostremos que ${\displaystyle \varphi }$ es inyectiva. Para ello se consideran g y h dos elementos del grupo. Si suponemos que sus imágenes ${\displaystyle t_{g}}$ y ${\displaystyle t_{h}}$ son iguales, entonces las imágenes del elemento neutro por ambas también son iguales y, por definición de ${\displaystyle t_{g}}$ y ${\displaystyle t_{h}}$, g tiene que ser igual a h. Esto prueba que la aplicación es efectivamente inyectiva.

• La aplicación ${\displaystyle \varphi }$ en Im(${\displaystyle \varphi }$) que a todo elemento ${\displaystyle g}$ de G asocia ${\displaystyle \varphi (g)}$ es entonces también un homomorfismo inyectivo. Además es sobreyectivo por construcción, y por tanto un isomorfismo de grupos. Así pues, G es isomorfo a Im(${\displaystyle \varphi }$), un subgrupo de S(G) (Im(${\displaystyle \varphi }$)<S(G)). ${\displaystyle \quad \square }$

David Steven Dummit (2004). Abstract algebra (3rd edición). Wiley. ISBN 0471433349.  |fechaacceso= requiere |url= (ayuda)