Teorema de De Gua

Tanto el teorema de Pitágoras, como el teorema de Gua son casos especiales para n = 2, 3 de un teorema general sobre n-símbolos con una esquina ángulo recto. Esto, a su vez, es un caso especial de un teorema aún más general de Donald R. Conant y William A. Beyer,^[3] que puede enunciarse como sigue.

Sea U un subconjunto medible de un subespacio afín de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (así que ${\displaystyle k\leq n}$). Para cualquier subconjunto ${\displaystyle I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}$ con exactamente k elementos, sea ${\displaystyle U_{I}}$ la proyección ortogonal de U sobre el span lineal de ${\displaystyle e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}}}$, donde ${\displaystyle I=\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}}$ y ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ es la base estándar para ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Entonces ${\displaystyle \operatorname {vol} _{k}^{2}(U)=\sum _{I}\operatorname {vol} _{k}^{2}(U_{I}),}$ donde ${\displaystyle \operatorname {vol} _{k}(U)}$ es la k-dimensional volume de U y la suma es sobre todos los subconjuntos ${\displaystyle I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}$ con exactamente k elementos.

El teorema de De Gua y su generalización (más arriba) a los n-símbolos con esquinas en ángulo recto corresponden al caso especial en el que k  =  n y U es un (n-1)-símplex en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ con vértices en el ejes de coordenadas. Por ejemplo, supongamos que n = 3, 'k = 2 y U es el triángulo ${\displaystyle \triangle ABC}$ en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ con los vértices ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ y ${\displaystyle C}$ situados en los ejes ${\displaystyle x_{1}}$-, ${\displaystyle x_{2}}$- y ${\displaystyle x_{3}}$-, respectivamente. Los subconjuntos ${\displaystyle I}$ de ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ con exactamente 2 elementos son ${\displaystyle \{2,3\}}$, ${\displaystyle \{1,3\}}$ y ${\displaystyle \{1,2\}}$. Por definición, ${\displaystyle U_{\{2,3\}}}$ es la proyección ortogonal de ${\displaystyle U=\triangle ABC}$ sobre el plano ${\displaystyle x_{2}x_{3}}$, por lo que ${\displaystyle U_{\{2,3\}}}$ es el triángulo ${\displaystyle \triangle OBC}$ con los vértices O, B y C, donde O es el origen de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Análogamente, ${\displaystyle U_{\{1,3\}}=\triangle AOC}$ y ${\displaystyle U_{\{1,2\}}=\triangle ABO}$, por lo que el teorema de Conant-Beyer dice:

${\displaystyle \operatorname {vol} _{2}^{2}(\triangle ABC)=\operatorname {vol} _{2}^{2}(\triangle OBC)+\operatorname {vol} _{2}^{2}(\triangle AOC)+\operatorname {vol} _{2}^{2}(\triangle ABO),}$

que es el teorema de Gua. La generalización del teorema de Gua a n -símplices con ángulos rectos también puede obtenerse como un caso especial a partir de la fórmula del determinante de Cayley-Menger.

• Esta obra contiene una traducción derivada de «De Gua's theorem» de Wikipedia en inglés, concretamente de esta versión, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.
• Álvarez, Sergio A. «Note on an n-dimensional Pythagorean theorem», Universidad Carnegie Mellon (en inglés).
• GoGeometry from the Land of the Incas (2007), «De Gua's Theorem, Pythagorean theorem in 3-D» (en inglés). Consultado el 6 de junio de 2010.
• Weisstein, Eric W. «de Gua's Theorem». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. Consultado el 6 de junio de 2010.