Teorema de Erdős-Kaplansky

Sea ${\displaystyle E}$ un espacio vectorial de dimensión infinita sobre un campo ${\displaystyle \mathbb {K} }$ y sea ${\displaystyle I}$ alguna base de él. Entonces el espacio dual ${\displaystyle E^{*}}$ satisface^[1]

${\displaystyle \operatorname {dim} (E^{*})=\operatorname {card} (\mathbb {K} ^{I}).}$

Por el teorema de Cantor, este cardinal es estrictamente mayor que la dimensión ${\displaystyle \operatorname {card} (I)}$ de ${\displaystyle E}$ . De manera más general, si ${\displaystyle I}$ es un conjunto infinito arbitrario, la dimensión del espacio de todas las funciones ${\displaystyle \mathbb {K} ^{I}}$ está dado por: ^[2]

${\displaystyle \operatorname {dim} (\mathbb {K} ^{I})=\operatorname {card} (\mathbb {K} ^{I}).}$

Cuando ${\displaystyle I}$ es finito, un resultado estándar nos dice que ${\displaystyle \dim(\mathbb {K} ^{I})=\operatorname {card} (I)}$ . Esto nos da una caracterización completa de la dimensión de este espacio.

1. ↑ Köthe, Gottfried (1983). Topological Vector Spaces I. Germany: Springer Berlin Heidelberg. p. 75. 
2. ↑ Nicolas Bourbaki (1974). Hermann, ed. Elements of mathematics: Algebra I, Chapters 1 - 3 (en inglés). p. 400. ISBN 0201006391.