Teorema de Euclides-Euler

Euclides probó que ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$ es un número par perfecto siempre que ${\displaystyle 2^{p}-1}$ es primo. Este es el último resultado sobre la teoría de números en los Elementos de Euclides. Euclides expresa el resultado afirmando que si una serie geométrica finita que comienza en 1 y tiene razón 2 tiene una suma prima ${\displaystyle q}$, entonces esta suma multiplicada por el último término ${\displaystyle t}$ de la serie es un número perfecto. Expresado en estos términos, la suma ${\displaystyle q}$ de la serie finita es el primo de Mersenne ${\displaystyle 2^{p}-1}$ y el último término ${\displaystyle t}$ de la serie es la potencia de dos ${\displaystyle 2^{p-1}}$. Euclides demuestra que ${\displaystyle qt}$ es perfecto, observando que la serie geométrica de razón 2 que empieza en ${\displaystyle q}$, con el mismo número de términos, es proporcional a la serie original; por tanto, como la serie original suma ${\displaystyle q=2t}$, la segunda serie suma ${\displaystyle q(2t-1)=2qt-q}$, y la suma de las dos series es ${\displaystyle 2qt}$, el doble del número perfecto supuesto. Sin embargo, estas dos series son disjuntas entre sí y (por ser ${\displaystyle q}$ primo) agotan todos los divisores de ${\displaystyle qt}$, por lo que ${\displaystyle qt}$ tiene divisores que suman ${\displaystyle 2qt}$, demostrando que es perfecto.^[2]

Más de un milenio después de Euclides, Alhazen, hacia el año 1000 de nuestra era, conjeturó que cualquier número perfecto par es de la forma ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$ donde ${\displaystyle 2^{p}-1}$ es primo, pero no pudo demostrar este resultado.^[3] No fue hasta el siglo XVIII, más de 2.000 años después de Euclides,^[4] cuando Leonhard Euler demostró que la fórmula ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$ da lugar a todos los números perfectos pares.^[1][5] Así pues, existe una relación biunívoca entre los números perfectos pares y los primos de Mersenne; cada primo de Mersenne genera un número perfecto par, y viceversa. Después de la demostración de Euler del teorema de Euclides-Euler, otros matemáticos han publicado diferentes demostraciones, como Victor-Amédée Lebesgue, Robert Daniel Carmichael, Leonard Eugene Dickson, John Knopfmacher, and Wayne L. McDaniel. La demostración de Dickson, en particular, se ha utilizado habitualmente en los libros de texto.^[6]

Este teorema se incluyó en una lista web de los "100 mejores teoremas matemáticos", que data de 1999, y que más tarde fue utilizada por Freek Wiedijk como benchmark para probar la potencia de diferentes asistentes de demostración . En 2021, la demostración del teorema de Euclides-Euler se había formalizado en 5 de los 10 asistentes de demostración registrados por Wiedijk.^[7]

La prueba de Euler es corta^[1] y depende del hecho de que la función de suma de divisores ${\displaystyle \sigma }$ es multiplicativa; es decir, si ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ son dos enteros cualesquiera primos entre sí, entonces ${\displaystyle \sigma (ab)=\sigma (a)\sigma (b)}$. Para que esta fórmula sea válida, la suma de los divisores de un número debe incluir el propio número, no sólo los divisores propios. Un número es perfecto si y sólo si su suma de divisores es el doble de su valor.

Un sentido del teorema (la parte ya demostrada por Euclides) se deduce inmediatamente de la propiedad multiplicativa: todo primo de Mersenne da lugar a un número perfecto par. Cuando ${\displaystyle 2^{p}-1}$ es primo, ${\displaystyle \sigma (2^{p-1}(2^{p}-1))=\sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1).}$ Los divisores de ${\displaystyle 2^{p-1}}$ son ${\displaystyle 1,2,4,8,...,2^{p-1}}$. La suma de estos divisores es una serie geométrica cuya suma es ${\displaystyle 2^{p}-1}$. Luego, como ${\displaystyle 2^{p}-1}$ es primo, sus únicos divisores son 1 y él mismo, así que la suma de sus divisores es ${\displaystyle 2^{p}}$.

Combinando estas expresiones,$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (2^{p-1}(2^{p}-1))&=\sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1)\\&=(2^{p}-1)(2^{p})\\&=2(2^{p-1})(2^{p}-1).\end{aligned}}}$$Por tanto, ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$ es perfecto.^[8][9][10]

En el otro sentido, supongamos que se ha dado un número perfecto par, y lo factorizamos parcialmente como ${\displaystyle 2^{k}x}$, donde ${\displaystyle x}$ es impar. Para que ${\displaystyle 2^{k}x}$ sea perfecto, la suma de su divisores tiene que ser dos veces su valor:

${\displaystyle 2^{k+1}x=\sigma (2^{k}x)=(2^{k+1}-1)\sigma (x).}$

(∗)

El factor impar ${\displaystyle 2^{k+1}-1}$ en el lado derecho de (∗) es al menos 3, y tiene que dividir a ${\displaystyle x}$, el único factor impar en el lado izquierdo, así que ${\displaystyle y=x/(2^{k+1}-1)}$ es un divisor propio de ${\displaystyle x}$. Dividiendo ambos lados de (∗) por el factor común ${\displaystyle 2^{k+1}-1}$ y teniendo en cuenta los divisores conocidos ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ de ${\displaystyle x}$ se obtiene:

${\displaystyle 2^{k+1}y=\sigma (x)=x+y+{\text{otros divisores}}=2^{k+1}y+{\text{otros divisores}}}$

Para que esta igualdad sea cierta, no puede haber otros divisores. Por tanto, ${\displaystyle y}$ tiene que valer 1, y ${\displaystyle x}$ tiene que ser un número primo de la forma ${\displaystyle 2^{k+1}-1}$.^[8][9][10]