Teorema de Heine-Cantor

La continuidad uniforme de una función se expresa como:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x,y\in M:\left(d_{M}(x,y))<\delta \Rightarrow d_{N}(f(x),f(y))<\varepsilon \right),}$

donde ${\displaystyle d_{M}}$, ${\displaystyle d_{N}}$ son las funciones distancia en los espacios métricos ${\displaystyle M}$ y ${\displaystyle N}$, respectivamente. Si ahora asumimos que ${\displaystyle f}$ es continua en el espacio métrico compacto ${\displaystyle M}$ pero no uniformemente continua, llegaremos a contradicción. La negación de la continuidad uniforme de ${\displaystyle f}$ queda así (${\displaystyle \wedge }$ denota la conjunción lógica "y"):

${\displaystyle \exists \varepsilon _{0}>0\ \forall \delta >0\ \exists x,y\in M:\left(d_{M}(x,y)<\delta \wedge d_{N}(f(x),f(y))\geq \varepsilon _{0}\right).}$

Fijando este ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$, para todo ${\displaystyle \delta }$ positivo tenemos un par de puntos ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ en ${\displaystyle M}$ con las propiedades arriba descritas. Si elegimos ${\displaystyle \delta =1/n}$ para ${\displaystyle n=1,2,3,...}$ obtenemos dos sucesiones ${\displaystyle \{x_{n}\},\{y_{n}\}}$ tales que

${\displaystyle d_{M}(x_{n},y_{n})<{\frac {1}{n}}\wedge d_{N}(f(x_{n}),f(y_{n}))\geq \varepsilon _{0}.}$

Como ${\displaystyle M}$ es compacto, el teorema de Bolzano-Weierstrass demuestra la existencia de dos subsucesiones convergentes (${\displaystyle x_{n_{k}}}$ a ${\displaystyle x_{0}}$ y ${\displaystyle y_{n_{k}}}$ a ${\displaystyle y_{0}}$). Se sigue que para todo ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle d_{M}(x_{n_{k}},y_{n_{k}})<{\frac {1}{n_{k}}}\wedge d_{N}(f(x_{n_{k}}),f(y_{n_{k}}))\geq \varepsilon _{0}.}$

Pero como ${\displaystyle f}$ es continua y ${\displaystyle x_{n_{k}}}$ e ${\displaystyle y_{n_{k}}}$ convergen en el mismo punto, esta afirmación no puede ser cierta. La contradicción prueba que nuestra suposición de que ${\displaystyle f}$ no es uniformemente continua es absurda: entonces ${\displaystyle f}$ debe ser uniformemente continua en ${\displaystyle M}$ como afirma el teorema. ${\displaystyle \quad \square }$