Teorema de Kruskal–Katona

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Dados dos enteros positivos N e i, hay una manera única de expandir N como suma de coeficientes binomiales como sigue:

${\displaystyle N={\binom {n_{i}}{i}}+{\binom {n_{i-1}}{i-1}}+\ldots +{\binom {n_{j}}{j}},\quad n_{i}>n_{i-1}>\ldots >n_{j}\geq j\geq 1.}$

Esta expansión puede ser construida aplicando un algoritmo voraz: dejamos que n_i sea el máximo n tal que ${\displaystyle N\geq {\binom {n}{i}},}$ reemplazamos N con la diferencia, i con i − 1, y repetimos hasta la diferencia termina siendo cero. Definimos

${\displaystyle N^{(i)}={\binom {n_{i}}{i}}+{\binom {n_{i-1}}{i-1}}+\ldots +{\binom {n_{j}}{j}}.}$

Un vector integral ${\displaystyle (f_{0},f_{1},...,f_{d-1})}$ es el f-vector de algún complejo simplicial ${\displaystyle (d-1)}$-dimensional sí y sólo si

${\displaystyle 0\leq f_{i}^{(i)}\leq f_{i-1},\quad 1\leq i\leq d-1.}$

Sea A un conjunto que consta de N subconjuntos distintos de tamaño i de conjunto fijo U ("el universo") y sea B el conjunto de todos los subconjuntos con ${\displaystyle (i-r)}$ elementos dentro de los conjuntos en A. Expandimos N como arriba. Entonces, la cardinalidad de B está acotada inferiormente como sigue:

${\displaystyle |B|\geq {\binom {n_{i}}{i-r}}+{\binom {n_{i-1}}{i-r-1}}+\ldots +{\binom {n_{j}}{j-r}}.}$

La siguiente formulación más débil, pero también bastante útil y se atribuye a László Lovász (1993). Sea A un conjunto de subconjuntos de tamaño i de un conjunto fijo U ("el universo"), y sea B el conjunto de todos los subconjuntos de A de tamaño ${\displaystyle (i-r)}$. Si tenemos que U = ${\displaystyle {\binom {x}{i}}}$, entonces ${\displaystyle |B|\geq {\binom {x}{i-r}}}$.

En esta formulación, x no necesariamente es un entero. El valor de la expresión binomial es .${\displaystyle {\binom {x}{i}}={\frac {x(x-1)\dots (x-i+1)}{i!}}}$

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Para todo entero positivo i, enlistamos todos los subconjuntos de tamaño i de ${\displaystyle \mathbb {N} }$, el conjunto de los números naturales, dados por ${\displaystyle \{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}}$ con ${\displaystyle a_{1}<a_{2}<\ldots <a_{n}}$ en orden colexicográfico. Por ejemplo, para i = 3, la lista empieza con

${\displaystyle 123,124,134,234,125,135,235,145,245,345,\ldots .}$

Dado un vector ${\displaystyle f=(f_{0},f_{1},...,f_{d-1})}$ cuyos componentes son enteros positivos, sea Δ_f el subconjunto del conjunto potencia 2^N que consta del conjunto vacío, junto con los primeros ${\displaystyle f_{i-1}}$ subconjuntos de tamaño i de ${\displaystyle \mathbb {N} }$ en la lista para ${\displaystyle i=1,\ldots ,d}$. Entonces, las siguientes condiciones son equivalentes:

1. El vector f es el f-vector de un complejo simplicial Δ.
2. Δ_f es un complejo simplicial.
3. ${\displaystyle f_{i}\leq f_{i-1}^{(i)},\quad 1\leq i\leq d-1.}$

La implicación más compleja de probar es ${\displaystyle 1\Rightarrow 2}$.