Teorema de Laguerre

En análisis matemático, el teorema de Laguerre sirve para aproximar las raíces de un polinomio. Este teorema debe su nombre al matemático francés Edmond Laguerre (1834-1886). From Wikipedia, the free encyclopedia

En análisis matemático, el teorema de Laguerre sirve para aproximar las raíces de un polinomio. Este teorema debe su nombre al matemático francés Edmond Laguerre (1834-1886).

Teorema de Laguerre (caso real):^[1]

Si ${\textstyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}$ coincide con $n$ y tiene $n$ raíces reales, entonces todas estas raíces están en el intervalo $[u,v]$ , donde $u$ y $v$ son las raíces del polinomio:
$nx^{2}+2a_{n-1}x+\left(2(n-1)a_{n-2}-(n-2)a_{n-1}^{2}\right)$

Este teorema es un caso real del teorema de Gauss-Lucas.

Teorema de Laguerre (caso complejo):^[2]

Sea $f(z)=z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_{0}$ un polinomio unitario de grado $n$ con coeficientes complejos. Considérese un punto $z_{0}$ tal que ${\textstyle f'(z_{0})\neq 0}$ .
Entonces, existe al menos una raíz de $f$ en el disco cerrado centrado en $z_{0}$ y de radio $n{\frac {|f(z_{0})|}{|f'(z_{0})|}}$

Demostración
Se asume que $f(z_{0})\neq 0$ y se escribe $f(z)$ en la forma ${\textstyle f(z)=\prod _{k=1}^{n}(z-\zeta _{k})}$ $f'(z_{0})=\sum _{i=0}^{n}\displaystyle \prod _{j=0 \atop j\neq i}^{n}(z_{0}-\zeta _{j})=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f(z_{0})}{z_{0}-\zeta _{k}}}$ Entonces, ${\frac {f'(z_{0})}{f(z_{0})}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{z_{0}-\zeta _{k}}}$ y por lo tanto ${\frac {\|f'(z_{0})\|}{\|f(z_{0})\|}}\leq \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\|z_{0}-\zeta _{k}\|}}\leq {\frac {n}{\min _{k}\|z_{0}-\zeta _{k}\|}},$ dicho de otro modo, $\min _{k}\|z_{0}-\zeta _{k}\|\leq n{\frac {\|f(z_{0})\|}{\|f'(z_{0})\|}},$ lo que completa la demostración

Véase también

Referencias

Wikiwand AI

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