Teorema de Le Cam

En la teoría de la probabilidad, el teorema de Le Cam, que lleva el nombre de Lucien le Cam (1924 - 2000), establece lo siguiente.^[1][2][3]

Supóngase que:

• X₁, ..., X_n son variables aleatorias independientes, cada una de ellas con una distribución de Bernoulli (es decir, igual a 0 o 1), no necesariamente distribuidas idénticamente.
• Pr(X_i = 1) = p_i para i = 1, 2, 3, ...
• ${\displaystyle \lambda _{n}=p_{1}+\cdots +p_{n}.}$
• ${\displaystyle S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}.}$ (es decir, ${\displaystyle S_{n}}$ sigue una distribución binomial de Poisson)

Entonces:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left|\Pr(S_{n}=k)-{\lambda _{n}^{k}e^{-\lambda _{n}} \over k!}\right|<2\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{2}.}$

En otras palabras, la suma sigue aproximadamente una distribución de Poisson y la desigualdad anterior limita el error de aproximación en términos de la distancia de variación total.

Al establecer p_i = λ_n/n, vemos que esto generaliza el teorema del límite de Poisson habitual.

Cuando ${\displaystyle \lambda _{n}}$ es grande, es posible un mejor límite: ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left|\Pr(S_{n}=k)-{\lambda _{n}^{k}e^{-\lambda _{n}} \over k!}\right|<2(1\wedge {\frac {1}{\lambda }}_{n})\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{2}.}$^[4]

También es posible debilitar el requisito de independencia.^[4]