Teorema de Leray-Hirsch

Dejar ${\displaystyle \pi \colon E\longrightarrow B}$ ser un haz de fibras con fibra ${\displaystyle F}$. Supongamos que para cada grado ${\displaystyle p}$, el espacio vectorial racional de cohomología singular

${\displaystyle H^{p}(F)=H^{p}(F;\mathbb {Q} )}$

es de dimensión finita, y que la inclusión

${\displaystyle \iota \colon F\longrightarrow E}$

induce una sobreyección en cohomología racional

${\displaystyle \iota ^{*}\colon H^{*}(E)\longrightarrow H^{*}(F)}$.

Considere una sección de esta sobreyección

${\displaystyle s\colon H^{*}(F)\longrightarrow H^{*}(E)}$,

por definición, este mapa satisface

${\displaystyle \iota ^{*}\circ s=\mathrm {Id} }$.

El teorema de Leray-Hirsch establece que el mapa lineal

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}H^{*}(F)\otimes H^{*}(B)&\longrightarrow &H^{*}(E)\\\alpha \otimes \beta &\longmapsto &s(\alpha )\smallsmile \pi ^{*}(\beta )\end{array}}}$

es un isomorfismo de ${\displaystyle H^{*}(B)}$ -módulos.

En otras palabras, si por cada ${\displaystyle p}$, existen clases

${\displaystyle c_{1,p},\ldots ,c_{m_{p},p}\in H^{p}(E)}$

que restringen, en cada fibra ${\displaystyle F}$, a una base de la cohomología en grado ${\displaystyle p}$, el mapa que se muestra a continuación es entonces un isomorfismo de ${\displaystyle H^{*}(B)}$ módulos.

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}H^{*}(F)\otimes H^{*}(B)&\longrightarrow &H^{*}(E)\\\sum _{i,j,k}a_{i,j,k}\iota ^{*}(c_{i,j})\otimes b_{k}&\longmapsto &\sum _{i,j,k}a_{i,j,k}c_{i,j}\wedge \pi ^{*}(b_{k})\end{array}}}$

dónde ${\displaystyle \{b_{k}\}}$ es una base para ${\displaystyle H^{*}(B)}$ y, por lo tanto, induce una base ${\displaystyle \{\iota ^{*}(c_{i,j})\otimes b_{k}\}}$ para ${\displaystyle H^{*}(F)\otimes H^{*}(B).}$

1. ↑ Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79160-X .