Teorema de Routh

Sea un triángulo cualquiera ΔABC (el exterior, amarillo en el gráfico), en cuyos lados AB, BC y CA se han marcado los puntos F, D y E, siendo estos tres últimos pies cualesquiera de las cevianas AD, BE y CF.

Los puntos I, G y H conforman al triángulo interior ΔIGH (color rojo el en el gráfico). Donde I, G y H son los puntos de intersección de las cevianas (AD con CF), (AD con BE) y (BE con CF).

${\displaystyle I=AD\cap CF,\quad G=AD\cap BE,\quad H=BE\cap CF}$

Denominando a las razones de los respectivos segmentos de cada lado como r, s y t:

${\displaystyle {\overline {AF}}/{\overline {BF}}=r}$

${\displaystyle {\overline {BD}}/{\overline {CD}}=s}$

${\displaystyle {\overline {CE}}/{\overline {AE}}=t}$

Llamando a las áreas de los triángulos ΔABC y ΔIGH respectivamente como A_ABC y A_IGH.

Con la nomenclatura antes mencionada, el teorema de Routh afirma que el área del triángulo ΔIGH es:

${\displaystyle A_{IGH}={\frac {(r\cdot s\cdot t-1)^{2}}{(s\cdot t+s+1)(r\cdot t+t+1)(r\cdot s+r+1)}}\;A_{ABC}.}$

El teorema de Ceva puede ser considerado como un caso especial del teorema de Routh. En el caso especial de que las tres cevianas AD, BE y CF se intersequen en un solo punto, entonces el área del triángulo ΔIGH es 0. Se puede concluir que ( r s t = 1 ), lo cual es justamente el enunciado del teorema de Ceva.

• Teorema de Stewart
• Teorema de Ceva
• Teorema de Routh-Hurwitz
• Triángulo

• Routh's Theorem by Cross Products at MathPages
• Routh's Theorem, Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project.