Teorema de Siegel–Walfisz

Se define

${\displaystyle \psi (x;q,a)=\sum _{n\leq x \atop n\equiv a{\pmod {q}}}\Lambda (n),}$

donde ${\displaystyle \Lambda }$ denota la función de von Mangoldt y φ es la función indicatriz de Euler.

El teorema expresa que dado cualquier número real N existe una constante positiva C_N dependiente únicamente de N tal que

${\displaystyle \psi (x;q,a)={\frac {x}{\varphi (q)}}+O\left(x\exp \left(-C_{N}(\log x)^{\frac {1}{2}}\right)\right),}$

siempre que (a, q) = 1 y

${\displaystyle q\leq (\log x)^{N}.}$

La constante C_N no es efectiva computacionalmente porque el teorema Siegel es inefectivo.

Del teorema se puede deducir la siguiente forma del teorema de los números primos para progresiones aritméticas: Si, para (a,q)=1, mediante ${\displaystyle \pi (x;q,a)}$ denotamos el número de primos menor o igual a x que son congruentes con a mod q, entonces

${\displaystyle \pi (x;q,a)={\frac {{\rm {Li}}(x)}{\varphi (q)}}+O\left(x\exp \left(-{\frac {C_{N}}{2}}(\log x)^{\frac {1}{2}}\right)\right),}$

donde N, a, q, C_N y φ son como en el teorema, y Li denota la integral logarítmica desplazada.