Teorema de aproximación de Weierstrass
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En análisis matemático, el teorema de aproximación de Weierstrass establece que toda función real continua definida en un intervalo cerrado y acotado puede ser aproximada uniformemente por polinomios. Equivalentemente, el espacio de los polinomios con coeficientes reales es denso en el espacio de funciones continuas sobre dicho intervalo, dotado de la topología de la convergencia uniforme.[1]
Karl Weierstrass publicó una demostración de este resultado en 1885. Posteriormente, Marshall H. Stone generalizó el teorema[2] y simplificó su demostración.[3] A esta generalización se la conoce como el teorema de Stone–Weierstrass.
Teorema de aproximación de Weierstrass
Para cualquier ε>0 y para cualquier función f continua sobre un intervalo , existe un polinomio de coeficientes reales, p, tal que
![{\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a659536067aaaac2db1c44613a09a715f0cf7246)
![{\displaystyle \sup _{x\in [a,b]}|f(x)-p(x)|<\epsilon .\;}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8dfb5dea6417ef050f73486ff88015e468b4527)
Demostración
Una demostración constructiva puede hallarse utilizándose los polinomios de Bernstein. En efecto, si f(x) es una función continua en el intervalo [0, 1] se define el polinomio de Bernstein como
Se puede demostrar que
converge uniformemente en el intervalo [0, 1]. Una vez demostrado en el intervalo [0,1] es fácil demostrar el resultado para cualquier intervalo compacto.
