Teorema de Zsigmondy

El teorema fue descubierto por Zsigmondy trabajando en Viena desde 1894 hasta 1925.

Sea ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$ una secuencia de enteros distintos de cero. El conjunto de Zsigmondy asociado a la secuencia es el conjunto

${\displaystyle {\mathcal {Z}}(a_{n})=\{n\geq 1:a_{n}{\text{ no tiene divisores primos primitivos}}\}.}$

es decir, el conjunto de índices ${\displaystyle n}$ tal que cada primo dividiendo ${\displaystyle a_{n}}$también divide algunos ${\displaystyle a_{m}}$ para algunos ${\displaystyle m<n}$. Por tanto, el teorema de Zsigmondy implica que ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(a^{n}-b^{n})\subset \{1,2,6\}}$, y el teorema de Carmichael dice que el conjunto Zsigmondy de la secuencia de Fibonacci es ${\displaystyle \{1,2,6,12\}}$, y el de la secuencia de Pell es ${\displaystyle \{1\}}$. En 2001 Bilu, Hanrot y Voutier^[4] demostraron que, en general, si ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$ es una sucesión de Lucas o una sucesión de Lehmer, entonces ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(a_{n})\subseteq \{1\leq n\leq 30\}}$ (ver OEIS: A285314,^[5] solo hay 13 ${\displaystyle n}$, a saber 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 18, 30). Las secuencias de Lucas y Lehmer son ejemplos de secuencias de divisibilidad.

También se sabe que si ${\displaystyle (W_{n})_{n\geq 1}}$ es una secuencia de divisibilidad elíptica, entonces su conjunto Zsigmondy ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(W_{n})}$ es finito.^[6] Sin embargo, el resultado es ineficaz en el sentido de que la prueba no da un límite superior explícito para el elemento más grande en ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(W_{n})}$, aunque es posible dar un límite superior efectivo para el número de elementos en ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(W_{n})}$.^[7]

• Teorema de Carmichael