Teorema de equivalencia de Lax

En análisis numérico, el «teorema de equivalencia de Lax» es un teorema fundamental en el análisis de métodos de diferencias finitas lineales para la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales lineales. Establece que, para un consistente para un problema lineal de valor inicial bien planteado, el método es convergente si y solo si es estable si, y solo si, es estable.^[1]

La importancia del teorema radica en que, si bien lo deseable es que la solución del método de diferencias finitas lineales converja en la solución de la ecuación diferencial parcial lineal, esto suele ser difícil de establecer, ya que el método numérico se define mediante una relación de recurrencia, mientras que la ecuación diferencial implica una función diferenciable. Sin embargo, la consistencia —el requisito de que el método de diferencias finitas lineales se aproxime a la ecuación diferencial parcial lineal correcta— es fácil de verificar, y la estabilidad suele ser mucho más fácil de demostrar que la convergencia (y sería necesaria en cualquier caso para demostrar que el error de redondeo no destruirá el cálculo). Por lo tanto, la convergencia se demuestra normalmente mediante el teorema de equivalencia de Lax.

La estabilidad en este contexto significa que una norma matricial de la matriz utilizada en la iteración es como máximo la unidad, lo que se denomina estabilidad (práctica) de Lax-Richtmyer.^[2] A menudo, por comodidad, se sustituye por un análisis de estabilidad de Von Neumann, aunque la estabilidad de von Neumann solo implica la estabilidad de Lax-Richtmyer en determinados casos.

Este teorema se debe a Peter Lax. A veces se le denomina «teorema de Lax-Richtmyer», en honor a Peter Lax y Robert D. Richtmyer.^[3]