Teorema de la firma de Hirzebruch

El género L es el género de la sucesión multiplicativa de polinomios asociada a la serie de potencias característica

${\displaystyle {x \over \tanh(x)}=\sum _{k\geq 0}{{2^{2k}B_{2k} \over (2k)!}x^{2k}}=1+{x^{2} \over 3}-{x^{4} \over 45}+\cdots .}$

Los dos primeros de los polinomios L resultantes son:

• ${\displaystyle L_{1}={\tfrac {1}{3}}p_{1}}$
• ${\displaystyle L_{2}={\tfrac {1}{45}}(7p_{2}-p_{1}^{2})}$

Tomando para el ${\displaystyle p_{i}}$ las clases de Pontryagin ${\displaystyle p_{i}(M)}$ del haz de tangentes de una 4n dimensional suave orientada cerrada se obtienen las clases L de M.

Hirzebruch demostró que la n-ésima clase L de M evaluada en la clase fundamental de M, ${\displaystyle [M]}$, es igual a ${\displaystyle \sigma (M)}$, la firma de M, es decir, la firma de la forma de intersección en el grupo de cohomología 2n de M:

${\displaystyle \sigma (M)=\langle L_{n}(p_{1}(M),\dots ,p_{n}(M)),[M]\rangle .}$

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René Thom había demostrado anteriormente que la signatura estaba dada por alguna combinación lineal de número de Pontryagin, e Hirzebruch encontró la fórmula exacta de esta combinación lineal introduciendo la noción de género de una secuencia multiplicativa.

Dado que el anillo racional cobordismo orientado ${\displaystyle \Omega _{*}^{\text{SO}}\otimes \mathbb {Q} }$ es igual a

${\displaystyle \Omega _{*}^{\text{SO}}\otimes \mathbb {Q} =\mathbb {Q} [\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {C} ),\mathbb {P} ^{4}(\mathbb {C} ),\ldots ],}$

el álgebra polinómica generada por las clases de cobordismo orientado ${\displaystyle [\mathbb {P} ^{2i}(\mathbb {C} )]}$ de los espacios proyectivos complejos pares, basta con comprobar que

${\displaystyle \sigma (\mathbb {P} ^{2i})=1=\langle L_{i}(p_{1}(\mathbb {P} ^{2i}),\ldots ,p_{n}(\mathbb {P} ^{2i})),[\mathbb {P} ^{2i}]\rangle }$

para todo i.