Teorema de la identidad

Basta demostrar el caso en el que una de las funciones (digamos ${\displaystyle g}$) es nula. El caso general se deduce como sigue: tomamos la función ${\displaystyle f-g}$ (analítica por ser resta de analíticas) y la función idénticamente nula. Si ${\displaystyle f}$ coincide con ${\displaystyle g}$ en un conjunto ${\displaystyle S}$ con un punto de acumulación en ${\displaystyle D}$, también lo hacen ${\displaystyle f-g}$ y la función 0. Por el caso que vamos a demostrar, ${\displaystyle f-g=0}$ en todo ${\displaystyle D}$, y concluimos que ${\displaystyle f=g}$ en ${\displaystyle D}$.

Ahora, sea ${\displaystyle z_{0}\in D}$ un punto de acumulación de ${\displaystyle S=\{z\in D:f(z)=0\}}$ (que sabemos que existe por hipótesis). Existe entonces una sucesión ${\displaystyle (w_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ de puntos de ${\displaystyle S}$ distintos de ${\displaystyle z_{0}}$ que converge hacia ${\displaystyle z_{0}}$. En ${\displaystyle S}$, la función ${\displaystyle f}$ coincide por hipótesis con la función nula, por lo que, para cada ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$, tenemos que ${\displaystyle f(w_{k})=0}$.

Primero vamos a demostrar que ${\displaystyle f}$ es idénticamente nula en un disco suficientemente pequeño que contiene el punto de acumulación ${\displaystyle z_{0}}$. Para ello, empezamos tomando ${\displaystyle B}$ un disco centrado en ${\displaystyle z_{0}}$ totalmente contenido en ${\displaystyle D}$ en el que ${\displaystyle f}$ coincide con una serie de potencias (podemos porque ${\displaystyle f}$ es analítica y ${\displaystyle D}$ es abierto):

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}\quad \forall z\in B}$.

Veamos que ${\displaystyle f}$ se anula en todo el disco ${\displaystyle B}$. Buscando una contradicción, supongamos que ${\displaystyle f}$ no fuera idénticamente nula en el disco. Entonces tendría que existir el menor entero ${\displaystyle m}$ para el cual ${\displaystyle a_{m}\neq 0}$. Podríamos factorizar ${\displaystyle f}$ en el disco como

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}=\sum _{n=m}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}=a_{m}(z-z_{0})^{m}\left(1+\sum _{n=m+1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{a_{m}}}(z-z_{0})^{n-m}\right)=:a_{m}(z-z_{0})^{m}(1+g(z-z_{0}))}$.

Observamos que ${\displaystyle 1+g(z_{0}-z_{0})=1\neq 0}$, por lo que en un entorno de ${\displaystyle z_{0}}$ la función ${\displaystyle 1+g(z-z_{0})}$ no se anularía (pues ${\displaystyle 1+g(z-z_{0})}$ es analítica y, por tanto, continua). Pero ahora, tomando la sucesión de puntos ${\displaystyle (w_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ distintos de ${\displaystyle z_{0}}$, que convergía a ${\displaystyle z_{0}}$, tendríamos que

1. ${\displaystyle a_{m}(w_{k}-z_{0})^{m}\neq 0}$, pues los puntos ${\displaystyle w_{k}}$ son siempre distintos de ${\displaystyle z_{0}}$, y
2. ${\displaystyle 1+g(w_{k}-z_{0})\neq 0}$ para ${\displaystyle k}$ suficientemente grande, pues, al converger hacia ${\displaystyle z_{0}}$, hay un momento a partir del que la sucesión de ${\displaystyle w_{k}}$ entra en el entorno de ${\displaystyle z_{0}}$ donde ${\displaystyle 1+g(z-z_{0})}$ no se anula.

Así pues, ${\displaystyle f(w_{k})\neq 0}$ para ${\displaystyle k}$ suficientemente grande, por la igualdad de arriba. Pero habíamos tomado ${\displaystyle w_{k}}$ de forma que ${\displaystyle f(w_{k})=0\quad \forall k\in \mathbb {N} }$. Esto es una contradicción, y proviene de suponer que ${\displaystyle f}$ no era idénticamente nula en el disco.

Con lo anterior hemos visto que ${\displaystyle S}$ tiene interior no vacío (todo el disco ${\displaystyle B}$ está en ${\displaystyle S}$, y el interior de un disco es no vacío). Ahora, sea ${\displaystyle S^{\circ }}$ el interior (no vacío) de ${\displaystyle S}$; por ser el interior de un conjunto es abierto. Si vemos que ${\displaystyle S^{\circ }}$ es cerrado, habremos acabado: en efecto, sería un subconjunto clopen del conjunto conexo ${\displaystyle D}$ y, como tal, sólo podría ser el vacío o el total. Como no es vacío, concluimos que ${\displaystyle S^{\circ }=D}$, de forma que también ${\displaystyle S=D}$. Por definición de ${\displaystyle S}$, tenemos que ${\displaystyle f(z)=0\quad \forall z\in D}$, que es lo queríamos demostrar.

Para ver que ${\displaystyle U}$ es cerrado, consideremos una sucesión ${\displaystyle (z_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ de puntos de ${\displaystyle S^{\circ }}$ que converja a un cierto ${\displaystyle z}$ y veamos que ${\displaystyle z\in S^{\circ }}$. Tenemos que ${\displaystyle f(z_{n})=0}$ para todo ${\displaystyle n}$, pues ${\displaystyle z_{n}\in S^{\circ }\subseteq S}$, y esa es la definición de ${\displaystyle S}$. Por continuidad de ${\displaystyle f}$, tenemos que ${\displaystyle f(z)=0}$, de donde ${\displaystyle z\in S}$. Para ver que ${\displaystyle z}$ es un punto interior de ${\displaystyle S}$ podemos usar el argumento anterior para demostrar que ${\displaystyle f}$ se anula en todo un disco alrededor de ${\displaystyle z}$. Así, hay todo un disco alrededor de ${\displaystyle z}$ que también está contenido en ${\displaystyle S}$, de manera que ${\displaystyle z\in S^{\circ }}$, como queríamos. ${\displaystyle \quad \square }$

1. ↑ Para funciones de variable real, véase Krantz, Steven G.; Parks, Harold R. (2002). A Primer of Real Analytic Functions (en inglés) (Segunda edición). Boston: Birkhäuser. Corolario 1.2.7. ISBN 0-8176-4264-1. 

• Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2003). Complex Analysis (en inglés). Princeton University Press. ISBN 0-691-11385-8.