Teorema de la inversa acotada

Teorema[1] Si A : X → Y es una biyección lineal continua de un espacio vectorial topológico pseudometrizable completo (EVT) a un EVT de Hausdorff que es un espacio de Baire, entonces A : X → Y es un homeomorfismo (y por lo tanto, un isomorfismo de EVT).

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Este teorema puede no ser válido para espacios normados que no están completos. Por ejemplo, considere el espacio X de sucesiones x : N → R con solo un número finito distinto de cero términos equipados con la norma del supremo. La aplicación T : X → X definido por

${\displaystyle Tx=\left(x_{1},{\frac {x_{2}}{2}},{\frac {x_{3}}{3}},\dots \right)}$

es acotado, lineal e invertible, pero T⁻¹ es ilimitado. Esto no contradice el teorema de la inversa acotada, ya que X no es completo y, por tanto, no es un espacio de Banach. Para ver que no es completo, considérese la secuencia de secuencias x⁽ⁿ⁾ ∈ X dada por

${\displaystyle x^{(n)}=\left(1,{\frac {1}{2}},\dots ,{\frac {1}{n}},0,0,\dots \right)}$

converge como n → ∞ a la secuencia x^(∞) dada por

${\displaystyle x^{(\infty )}=\left(1,{\frac {1}{2}},\dots ,{\frac {1}{n}},\dots \right),}$

que tiene todos sus términos distintos de cero y, por lo tanto, no se encuentra en X.

La completación de X es el espacio ${\displaystyle c_{0}}$ de todas las secuencias que convergen a cero, que es un subespacio (cerrado) de un espacio ℓ_p ℓ_∞(N), que es el espacio de todas las secuencias acotadas. Sin embargo, en este caso, la aplicación T no es sobre, y por tanto, no es una biyección. Para ver esto, basta con observar que la secuencia

${\displaystyle x=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\dots \right)}$,

es un elemento de ${\displaystyle c_{0}}$, pero no está en el rango de ${\displaystyle T:c_{0}\to c_{0}}$.