Teorema del triángulo rectángulo de Fermat

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En 1225, el emperador Frederico II desafió al matemático Leonardo de Pisa a participar en un concurso matemático contra varios otros matemáticos, con tres problemas planteados por el filósofo de la corte Juan de Palermo. El primero de estos problemas pedía tres números racionales cuyos cuadrados estuvieran separados por cinco unidades, resuelto por Fibonacci con los tres números ${\displaystyle {\tfrac {31}{12}}}$, ${\displaystyle {\tfrac {41}{12}}}$ y ${\displaystyle {\tfrac {49}{12}}}$.

En El Libro de los Cuadrados, publicado ese mismo año por Fibonacci, resolvió el problema más general de encontrar ternas de cuadrados perfectos que estuvieran igualmente separadas entre sí, formando una progresión aritmética. Fibonacci llamó a la brecha entre estos números congruum.^[2] Una forma de describir la solución de Fibonacci es que los números a elevar al cuadrado son la diferencia de catetos, la hipotenusa y la suma de los catetos de una terna pitagórica, y que el congruo es cuatro veces el área del mismo triángulo.^[3] Fibonacci observó que es imposible que un congruo sea un número cuadrado en sí mismo, pero no presentó una prueba satisfactoria de este hecho.^[4]

Si tres cuadrados ${\displaystyle a^{2}}$, ${\displaystyle b^{2}}$ y ${\displaystyle c^{2}}$ pudieran formar una progresión aritmética cuyo congruo fuera también un cuadrado ${\displaystyle d^{2}}$, entonces estos números satisfarían las ecuaciones diofánticas

$${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}+d^{2}&=b^{2},\\b^{2}+d^{2}&=c^{2}.\\\end{aligned}}}$$

Es decir, por el teorema de Pitágoras, formarían dos triángulos rectángulos de lados enteros en los que el par ${\displaystyle (d,b)}$ da un cateto y la hipotenusa del triángulo menor y el mismo par también forma los dos catetos del triángulo mayor. Pero si (como afirmó Fibonacci) no puede existir un congruo de cuadrados, entonces no puede haber dos triángulos rectángulos enteros que compartan dos lados de esta manera.^[5]

Debido a que los congruos son exactamente los números que son cuatro veces el área de un triángulo pitagórico, y la multiplicación por cuatro no cambia la condición de un número cuadrado (que sigue siéndolo), la existencia de un congruo cuadrado es equivalente a la existencia de un triángulo pitagórico con un área que sea un cuadrado. Es esta variante del problema a la que se refiere la prueba de Fermat: muestra que no existe tal triángulo. Al considerar este problema, Fermat no se inspiró en Fibonacci sino en una edición de la Arithmetica de Diofanto de Alejandría, publicada en una traducción al francés en 1621 por Claude Gaspard Bachet de Méziriac.^[6] Este libro describía varios triángulos rectángulos especiales cuyas áreas tenían formas relacionadas con los cuadrados, pero no consideraba el caso de áreas que en sí mismas eran cuadradas.^[7]

Al reorganizar las ecuaciones de los dos triángulos pitagóricos anteriores y luego multiplicarlas, se obtiene la única ecuación diofántica

$${\displaystyle b^{4}-d^{4}=(b^{2}-d^{2})(b^{2}+d^{2})=a^{2}c^{2}}$$

que se puede simplificar introduciendo una nueva variable ${\displaystyle e=ac}$ para

$${\displaystyle b^{4}-d^{4}=e^{2}.}$$

Por el contrario, tres enteros positivos cualesquiera que obedezcan a la ecuación ${\displaystyle b^{4}-d^{4}=e^{2}}$ conducen a un congruo de cuadrados: para estos números, los cuadrados ${\displaystyle (b^{4}-d^{4}-2b^{2}d^{2})^{2}}$, ${\displaystyle (b^{4}+d^{4})^{2}}$ y ${\displaystyle (b^{4}-d^{4}+2b^{2}d^{2})^{2}}$ forman una progresión aritmética con el congruo ${\displaystyle 4b^{2}d^{2}(b^{4}-d^{4})=(2bde)^{2}}$, que es un cuadrado en sí mismo. Así, la solucionabilidad de ${\displaystyle b^{4}-d^{4}=e^{2}}$ es equivalente a la existencia de un congruo de cuadrados. Pero, si el último teorema de Fermat tuviera un contraejemplo para el exponente ${\displaystyle 4}$, una solución entera para la ecuación ${\displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{4}}$, entonces elevar al cuadrado uno de los tres números en el contraejemplo daría tres números que resuelven la ecuación ${\displaystyle b^{4}-d^{4}=e^{2}}$. Por lo tanto, la prueba de Fermat de que ningún triángulo pitagórico tiene un área cuadrada implica la verdad del caso con exponente-${\displaystyle 4}$ del último teorema de Fermat.^[7]

Otra formulación equivalente del mismo problema implica números congruentes, los números que son áreas de triángulos rectángulos cuyos tres lados son todos números racionales. Multiplicando los lados por un denominador común, cualquier número congruente puede transformarse en el área de un triángulo pitagórico, de lo cual se sigue que los números congruentes son exactamente los números formados al multiplicar un congruo por el cuadrado de un número racional.^[8] Por lo tanto, la existencia de un congruo cuadrado es equivalente a la afirmación de que el número 1 no es un número congruente.^[9] Otra forma más geométrica de enunciar esta formulación es que es imposible que un cuadrado (la forma geométrica) y un triángulo rectángulo tengan áreas iguales y todos los lados conmensurables entre sí.^[10]

Otra forma equivalente del teorema de Fermat involucra una curva elíptica que consiste en los puntos cuyos coordenadas cartesianas ${\displaystyle (x,y)}$ satisfacen la ecuación

$${\displaystyle y^{2}=x(x+1)(x-1).}$$

Los puntos (+1,0), (0,0) y (1,0) proporcionan soluciones obvias a esta ecuación. El teorema de Fermat es equivalente a afirmar que estos son los únicos puntos de la curva para los que tanto ${\displaystyle x}$ como ${\displaystyle y}$ son racionales. Más generalmente, los triángulos rectángulos con lados racionales y área ${\displaystyle n}$ se corresponden uno por uno con los puntos racionales con coordenada positiva ${\displaystyle y}$ en la curva elíptica ${\displaystyle y^{2}=x(x+n)(x-n)}$.^[11]