Teorema maestro de Ramanujan

Una formulación alternativa del teorema maestro de Ramanujan es la siguiente:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}\left(\,\lambda (0)-x\,\lambda (1)+x^{2}\,\lambda (2)-\,\cdots \,\right)dx={\frac {\pi }{\,\sin(\pi s)\,}}\,\lambda (-s)}$

la cual se convierte en la forma de arriba después de sustituir ${\textstyle \lambda (n)\equiv {\frac {\varphi (n)}{\,\Gamma (1+n)\,}}}$ y usando la ecuación funcional de la función gamma.

La integral de arriba es convergente para ${\textstyle 0<\operatorname {\mathcal {Re}} (s)<1}$ sujeta a las condiciones de crecimiento de ${\textstyle \varphi }$.^[4]