Teoría de Wiman-Valiron

Por definición, una función completa puede representarse mediante una serie de potencias que es convergente para todos los complejos ${\displaystyle z}$:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}.}$

Los términos de esta serie tienden a 0 como ${\displaystyle n\to \infty }$, entonces para cada ${\displaystyle z}$ hay un término de módulo máximo. Este término depende de ${\displaystyle r:=|z|}$. Su módulo se llama el término máximo de la serie:

aquí ${\displaystyle n}$es el exponente para el cual se alcanza el máximo; Si hay varios términos máximos, definimos ${\displaystyle n}$como el mayor exponente de ellos. Este número ${\displaystyle n}$depende de ${\displaystyle r}$, se denota por ${\displaystyle n(r,f)}$y se llama el índice central .

Deja

${\displaystyle M(r,f)=\max\{|f(z)|:|z|\leq r\}}$

Ser el módulo máximo de la función ${\displaystyle f}$. La desigualdad de Cauchy implica que ${\displaystyle \mu (r,f)\leq M(r,f)}$ para todos ${\displaystyle r\geq 0}$. La estimación inversa ${\displaystyle M(r,f)\leq (\mu (r,f))^{1+\epsilon }}$fue probado por primera vez por Borel, y una estimación más precisa debido a que Wiman lee^[1]

${\displaystyle M(r,f)\leq \mu (r,f)\left(\log \mu (r,f)\right)^{1/2+\epsilon },}$

en el sentido de que por cada ${\displaystyle \epsilon >0}$existen valores arbitrariamente grandes de ${\displaystyle r}$por lo que esta desigualdad se mantiene. De hecho, Valiron demostró que la relación anterior es válida para "la mayoría" de los valores de ${\displaystyle r}$: el conjunto excepcional ${\displaystyle E}$para lo que no posee tiene medida logarítmica finita:

${\displaystyle \int _{E}{\frac {dr}{r}}<\infty .}$

Las mejoras de estas desigualdades fueron objeto de mucha investigación en el siglo XX.^[2]

Summarize Timeline Fact Check

El siguiente resultado de Wiman^[3] es fundamental para varias aplicaciones: ${\displaystyle z_{r}}$ser el punto por el cual el máximo en la definición de ${\displaystyle M(r,f)}$se alcanza por el Principio Máximo tenemos ${\displaystyle |z_{r}|=r}$. Resulta que ${\displaystyle f(z)}$se comporta cerca del punto ${\displaystyle z_{r}}$como un monomio: hay valores arbitrariamente grandes de ${\displaystyle r}$tal que la fórmula

${\displaystyle f(z)=(1+o(1))\left({\frac {z}{z_{r}}}\right)^{n(r,f)}f(z_{r}),}$

se mantiene en el disco

${\displaystyle |z-z_{r}|<{\frac {r}{\left(n(r)\right)^{1/2+\epsilon }}}.}$

aquí ${\displaystyle \epsilon >0}$es un número positivo arbitrario, y la o (1) se refiere a ${\displaystyle r\to \infty ,\;r\not \in E}$, donde ${\displaystyle E}$es el conjunto excepcional descrito anteriormente. Este disco generalmente se llama el disco de Wiman-Valiron.