Transformación de Bogoliubov

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Se considera la relación de conmutación canónica para operadores bosónicos de creación y aniquilación en la base armónica:

${\displaystyle \left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right]=1~.}$

Se define un nuevo par de operadores:

${\displaystyle {\hat {b}}=u{\hat {a}}+v{\hat {a}}^{\dagger }}$

${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }=u^{*}{\hat {a}}^{\dagger }+v^{*}{\hat {a}}~,}$

donde el último es el conjugado hermítico del primero.

La transformación de Bogoliubov es la transformación canónica que lleva los operadores ${\displaystyle {\hat {a}}}$ y ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ a ${\displaystyle {\hat {b}}}$ y ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}$. Para encontrar las condiciones en las constantes u y v tales que la transformación sea canónica, el conmutador se evalúa, respectivamente:

${\displaystyle \left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right]=\left[u{\hat {a}}+v{\hat {a}}^{\dagger },u^{*}{\hat {a}}^{\dagger }+v^{*}{\hat {a}}\right]=\cdots =\left(|u|^{2}-|v|^{2}\right)\left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right].}$

Es de esta forma evidente que ${\displaystyle \,|u|^{2}-|v|^{2}=1}$ es la condición para que la transformación sea canónica.

Dado que la forma de esta condición recuerda a la identidad hiperbólica

${\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1}$

Las constantes u y v pueden parametrizarse fácilmente como

${\displaystyle u=e^{i\theta _{1}}\cosh r}$

${\displaystyle v=e^{i\theta _{2}}\sinh r~.}$

La aplicación más importante es la del propio Nikolái Bogoliúbov en el campo de la superfluidez.^[3] Otras aplicaciones comprenden el trabajo con hamiltonianos y excitaciones en la teoría del antiferromagnetismo.^[4] Cuando se calcula teoría cuántica de campos en un espacio-tiempo curvado, la definición del vacío cambia y se puede realizar una transformación de Bogoliubov entre estos diferentes vacíos.

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Para la relación de anticonmutación

${\displaystyle \left\{{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right\}=1}$

la misma transformación con u y v llega a

${\displaystyle \left\{{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right\}=(|u|^{2}+|v|^{2})\left\{{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right\}}$

Para hacer la transformación canónica, se puede parametrizar u y v como

${\displaystyle u=e^{i\theta _{1}}\cos r\,\!}$

${\displaystyle v=e^{i\theta _{2}}\sin r\,\!.}$

La aplicación más importante es nuevamente la del propio Nikolái Bogoliúbov, esta vez en la teoría BCS de la superconductividad.^[4] El punto en el que la necesidad de realizar una transformación de Bogoliubov se vuelve obvia es aquel en que la aproximación de campo medio del hamiltoniano del sistema puede escribirse en ambos casos como suma de términos bilineales en los operadores de creación y aniquilación originales, incluyendo un número finito de términos ${\displaystyle \,\langle a_{i}^{+}a_{j}^{+}\rangle }$, esto es, se necesita ir más allá del método de Hartree-Fock habitual. El método también es aplicable en física nuclear, ya que describe la energía de enlace de los nucleones en un elemento pesado.^[5]