Transformada de Fourier fraccionaria

En matemáticas, dentro del área del análisis armónico, la transformada de Fourier fraccionaria (TFF) es una familia de transformaciones lineales que generalizan la transformada de Fourier. Puede considerarse como la transformada de Fourier elevada a la enésima potencia, donde n no necesariamente es un número entero. Por lo tanto, puede transformar una función a cualquier dominio intermedio entre el tiempo y la frecuencia. Sus aplicaciones abarcan desde el diseño de filtros y el procesado de señales hasta la recuperación de fase y el reconocimiento de patrones.

La TFF puede utilizarse para definir la convolución fraccionarias, la correlación y otras operaciones, y también puede generalizarse aún más en la transformación lineal canónica (TLC). Una definición temprana de la TFF fue introducida por Condon,^[1] al resolver la función de Green para rotaciones en el espacio de fases, y también por Namias,^[2] generalizando el trabajo de Wiener^[3] sobre polinomios de Hermite.

Sin embargo, no fue ampliamente reconocida en el procesamiento de señales hasta que fue reintroducida de forma independiente alrededor de 1993 por varios grupos.^[4] Desde entonces, ha habido un gran interés en extender el teorema de muestreo de Shannon^[5]^[6] para señales con ancho de banda limitado en el dominio de la transformada de Fourier fraccionaria.

Bailey y Swartztrauber introdujeron un significado completamente diferente para la transformada de Fourier fraccionaria,^[7] esencialmente como otro nombre para una transformada Z, y en particular para el caso que corresponde a una transformada de Fourier discreta desplazada fraccionariamente en el espacio de frecuencias (multiplicando la entrada por una frecuencia modulada pulsada lineal) y evaluada en un conjunto fraccionario de puntos de frecuencia (por ejemplo, considerando solo una pequeña porción del espectro). Estas transformadas pueden evaluarse eficientemente mediante el algoritmo FFT de Bluestein. Sin embargo, esta terminología ha caído en desuso en la mayor parte de la literatura técnica, en favor de la TFF. El resto de este artículo describe la TFF.

Introducción

La transformada de Fourier continua ${\mathcal {F}}$ de una función $f:\mathbb {R} \mapsto \mathbb {C}$ es un operador unitario del espacio $L^{2}$ que transforma la función $f$ en su versión en frecuencias ${\hat {f}}$ (todas las expresiones se toman en el sentido $L^{2}$ , en lugar de puntualmente):

{\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,\mathrm {d} x

y $f$ se determina mediante ${\hat {f}}$ a través de la transformada inversa ⁠ ${\mathcal {F}}^{-1}$ ⁠, $f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )\ e^{2\pi i\xi x}\,\mathrm {d} \xi \,.$

Estudiando sus funciones ⁠ $n$ ⁠ veces iteradas ${\mathcal {F}}^{n}$ definidas por

{\mathcal {F}}^{n}[f]={\mathcal {F}}[{\mathcal {F}}^{n-1}[f]]

y

{\mathcal {F}}^{-n}=({\mathcal {F}}^{-1})^{n}

cuando ⁠ $n$ ⁠ es un entero no negativo, y ⁠ ${\mathcal {F}}^{0}[f]=f$ ⁠. Su secuencia es finita, ya que ${\mathcal {F}}$ es un automorfismo 4-periódico: para cada función ⁠ $f$ ⁠, ⁠ ${\mathcal {F}}^{4}[f]=f$ ⁠.

Más precisamente, introdúzcase el operador de paridad ${\mathcal {P}}$ que invierte ⁠ $x$ ⁠, ⁠ ${\mathcal {P}}[f]:x\mapsto f(-x)$ ⁠. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

{\mathcal {F}}^{0}=\mathrm {Id} ,\qquad {\mathcal {F}}^{1}={\mathcal {F}},\qquad {\mathcal {F}}^{2}={\mathcal {P}},\qquad {\mathcal {F}}^{4}=\mathrm {Id}

{\mathcal {F}}^{3}={\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {P}}\circ {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}\circ {\mathcal {P}}.

La transformada de Fourier fraccionaria (TFF) proporciona una familia de transformadas lineales que extiende aún más esta definición para manejar potencias no enteras $n=2\alpha /\pi$ de la transformada de Fourier.

Definición

Nota: algunos autores escriben la transformada en términos del orden $a$ en lugar del ángulo $α$ , en cuyo caso $α$ suele ser $a$ multiplicado por $π /2$ . Aunque estas dos formas son equivalentes, es importante tener cuidado con la definición que utiliza cada autor.

Para cualquier número real $α$ , la transformada de Fourier fraccionaria angular $α$ de una función ƒ se denota por ${\mathcal {F}}_{\alpha }(u)$ y se define como:^[8]^[9]^[10]

${\mathcal {F}}_{\alpha }[f](u)={\sqrt {1-i\cot(\alpha )}}e^{i\pi \cot(\alpha )u^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi i\left(\csc(\alpha )ux-{\frac {\cot(\alpha )}{2}}x^{2}\right)}f(x)\,\mathrm {d} x$

Para $α = π /2$ , esto se convierte precisamente en la definición de la transformada continua de Fourier, y para $α = - π /2$ es la definición de la transformada inversa continua de Fourier.

El argumento $u$ de la TFF no es ni espacial $x$ ni de frecuencia $ξ$ .Se verá por qué puede interpretarse como una combinación lineal de ambas coordenadas $(x, ξ)$ . Cuando se quiera distinguir el dominio fraccionaria angular $α$ , se utilizará $x_{a}$ para denotar el argumento de ⁠ ${\mathcal {F}}_{\alpha }$ ⁠.

Nota: Con la convención de frecuencia angular ω en lugar de la de frecuencia, la fórmula TFF es el kernel de Mehler,

{\mathcal {F}}_{\alpha }(f)(\omega )={\sqrt {\frac {1-i\cot(\alpha )}{2\pi }}}e^{i\cot(\alpha )\omega ^{2}/2}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\csc(\alpha )\omega t+i\cot(\alpha )t^{2}/2}f(t)\,dt~.

Propiedades

El operador de transformada de Fourier fraccionaria de orden $α$ , ⁠ ${\mathcal {F}}_{\alpha }$ ⁠, tiene las siguientes propiedades:

Aditividad

Para cualquier ángulo real $α$ , $β$ ,

{\mathcal {F}}_{\alpha +\beta }={\mathcal {F}}_{\alpha }\circ {\mathcal {F}}_{\beta }={\mathcal {F}}_{\beta }\circ {\mathcal {F}}_{\alpha }.

Linealidad

{\mathcal {F}}_{\alpha }\left[\sum \nolimits _{k}b_{k}f_{k}(u)\right]=\sum \nolimits _{k}b_{k}{\mathcal {F}}_{\alpha }\left[f_{k}(u)\right]

Órdenes enteros

Si ⁠ $\alpha$ ⁠ es un múltiplo entero de ⁠ $\pi /2$ ⁠, entonces:

{\mathcal {F}}_{\alpha }={\mathcal {F}}_{k\pi /2}={\mathcal {F}}^{k}=({\mathcal {F}})^{k}

Además, tiene la siguiente relación:

{\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{2}&={\mathcal {P}}&&{\mathcal {P}}[f(u)]=f(-u)\\{\mathcal {F}}^{3}&={\mathcal {F}}^{-1}=({\mathcal {F}})^{-1}\\{\mathcal {F}}^{4}&={\mathcal {F}}^{0}={\mathcal {I}}\\{\mathcal {F}}^{i}&={\mathcal {F}}^{j}&&i\equiv j\mod 4\end{aligned}}

Inversa

({\mathcal {F}}_{\alpha })^{-1}={\mathcal {F}}_{-\alpha }

Conmutatividad

{\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}={\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}

Asociatividad

\left({\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}\right){\mathcal {F}}_{\alpha _{3}}={\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}\left({\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{3}}\right)

Unitaridad

\int f(t)g^{*}(t)dt=\int f_{\alpha }(u)g_{\alpha }^{*}(u)du

Inversión temporal

{\mathcal {F}}_{\alpha }{\mathcal {P}}={\mathcal {P}}{\mathcal {F}}_{\alpha }

{\mathcal {F}}_{\alpha }[f(-u)]=f_{\alpha }(-u)

Transformada de una función desplazada

Se definen los operadores de desplazamiento y desfase de la siguiente manera:

{\begin{aligned}{\mathcal {SH}}(u_{0})[f(u)]&=f(u+u_{0})\\{\mathcal {PH}}(v_{0})[f(u)]&=e^{j2\pi v_{0}u}f(u)\end{aligned}}

Entonces,

{\begin{aligned}{\mathcal {F}}_{\alpha }{\mathcal {SH}}(u_{0})&=e^{j\pi u_{0}^{2}\sin \alpha \cos \alpha }{\mathcal {PH}}(u_{0}\sin \alpha ){\mathcal {SH}}(u_{0}\cos \alpha ){\mathcal {F}}_{\alpha },\end{aligned}}

es decir,

{\begin{aligned}{\mathcal {F}}_{\alpha }[f(u+u_{0})]&=e^{j\pi u_{0}^{2}\sin \alpha \cos \alpha }e^{j2\pi uu_{0}\sin \alpha }f_{\alpha }(u+u_{0}\cos \alpha )\end{aligned}}

Transformada de una función escalada

Se definen los operadores de escalado y multiplicación de chirrido de la siguiente manera:

{\begin{aligned}M(M)[f(u)]&=|M|^{-{\frac {1}{2}}}f\left({\tfrac {u}{M}}\right)\\Q(q)[f(u)]&=e^{-j\pi qu^{2}}f(u)\end{aligned}}

Entonces,

{\begin{aligned}{\mathcal {F}}_{\alpha }M(M)&=Q\left(-\cot \left({\frac {1-\cos ^{2}\alpha '}{\cos ^{2}\alpha }}\alpha \right)\right)\times M\left({\frac {\sin \alpha }{M\sin \alpha '}}\right){\mathcal {F}}_{\alpha '}\\[6pt]{\mathcal {F}}_{\alpha }\left[|M|^{-{\frac {1}{2}}}f\left({\tfrac {u}{M}}\right)\right]&={\sqrt {\frac {1-j\cot \alpha }{1-jM^{2}\cot \alpha }}}e^{j\pi u^{2}\cot \left({\frac {1-\cos ^{2}\alpha '}{\cos ^{2}\alpha }}\alpha \right)}\times f_{a}\left({\frac {Mu\sin \alpha '}{\sin \alpha }}\right)\end{aligned}}

Obsérvese que la transformada de Fourier fraccionaria de $f(u/M)$ no puede expresarse como una versión escalada de ⁠ $f_{\alpha }(u)$ ⁠. En cambio, la transformada de Fourier fraccionaria de $f(u/M)$ resulta ser una versión escalada y modulada por chirrido de $f_{\alpha '}(u)$ , donde $\alpha \neq \alpha '$ tiene un orden diferente.^[11]

Núcleo fraccionario

La TFF es una transformada integral

{\mathcal {F}}_{\alpha }f(u)=\int K_{\alpha }(u,x)f(x)\,\mathrm {d} x

donde el núcleo angular $α$ es

K_{\alpha }(u,x)={\begin{cases}{\sqrt {1-i\cot(\alpha )}}\exp \left(i\pi (\cot(\alpha )(x^{2}+u^{2})-2\csc(\alpha )ux)\right)&{\mbox{si }}\alpha {\mbox{ no es un múltiplo de }}\pi ,\\\delta (u-x)&{\mbox{si }}\alpha {\mbox{ es un múltiplo de }}2\pi ,\\\delta (u+x)&{\mbox{si }}\alpha +\pi {\mbox{ es un múltiplo de }}2\pi ,\\\end{cases}}

Aquí, nuevamente, los casos especiales son consistentes con el comportamiento límite cuando $α$ se aproxima a un múltiplo de $π$ .

La TFF tiene las mismas propiedades que sus núcleos:

Simetría: $K_{\alpha }~(u,u')=K_{\alpha }~(u',u)$
Inversa: $K_{\alpha }^{-1}(u,u')=K_{\alpha }^{*}(u,u')=K_{-\alpha }(u',u)$
Aditividad: $K_{\alpha +\beta }(u,u')=\int K_{\alpha }(u,u'')K_{\beta }(u'',u')\,\mathrm {d} u''.$

Transformadas relacionadas

También existen generalizaciones fraccionarias relacionadas de transformadas similares, como la transformada de Fourier discreta.

La transformada discreta fraccionaria de Fourier fue definida por Zeev Zalevsky.^[12]^[13] Somma describe un algoritmo cuántico para desarrollar una versión de la transformada de Fourier discreta fraccionaria en tiempo subpolinomial.^[14]
La transformada ondícula fraccionaria (FRWT) es una generalización de la transformada ondícula clásica en el dominio de la transformada de Fourier fraccionaria.^[15]
La transformada chirrido es una generalización relacionada de la transformada ondícula.

Generalizaciones

La transformada de Fourier es esencialmente bosónica: funciona porque es consistente con el principio de superposición y patrones de interferencia relacionados. También existe una transformada de Fourier fermiónica.^[16] Estas se han generalizado en una TFF con supersimetría y una transformada de Radon supersimétrica.^[16] También existe una transformada de Radon fraccionaria, una TFF simpléctica y una transformada ondícula simpléctica.^[17] Dado que los circuitos cuánticos se basan en operadores unitarios, son útiles para calcular las transformadas integrales, ya que estas últimas son operadores unitarios en un espacio funcional. Se ha diseñado un circuito cuántico que desarrolla la TFF.^[18] Se hicieron intentos para realizar la transformada de Fourier fraccionaria usando la matriz de Vandermonde confluente.^[19]

Interpretación

Análisis tiempo-frecuencia

Véase también: Transformación canónica lineal

Una función rect (rectangular) se convierte en una función sinc (seno cardinal) cuando el orden de la transformada de Fourier fraccionaria se vuelve 1

La interpretación habitual de la transformada de Fourier es la transformación de una señal dada en el dominio del tiempo en una señal dada en el dominio de la frecuencia. Por otro lado, la interpretación de la transformada inversa de Fourier es la transformación de una señal del dominio de la frecuencia en una señal del dominio del tiempo. Las transformadas de Fourier fraccionarias transforman una señal (ya sea en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia) en el dominio entre el tiempo y la frecuencia: se trata de una rotación en el dominio tiempo-frecuencia. Esta perspectiva se generaliza mediante la transformación canónica lineal, que generaliza la transformada de Fourier fraccionaria y permite transformaciones lineales del dominio tiempo-frecuencia distintas de la rotación.

Considérese la siguiente figura como ejemplo. Si la señal en el dominio del tiempo es rectangular (como se muestra a continuación), se convierte en la función seno cardinal en el dominio de la frecuencia. Pero si se aplica la transformada de Fourier fraccionaria a la señal rectangular, el resultado de la transformación estará en el dominio tiempo-frecuencia.

La transformada de Fourier fraccionaria es una operación de rotación sobre una señal distribución tiempo-frecuencia. Según la definición anterior, para α = 0, no habrá cambios tras aplicar la transformada de Fourier fraccionaria, mientras que para α = π/2, la transformada de Fourier fraccionaria se convierte en una transformada de Fourier simple, que rota la distribución tiempo-frecuencia en π/2. Para otros valores de α, la transformada de Fourier fraccionaria rota la distribución tiempo-frecuencia según α. La siguiente figura muestra los resultados de la transformada de Fourier fraccionaria con diferentes valores de α.

Difracción de Fresnel y Fraunhofer

La difracción de la luz se puede calcular mediante transformadas integrales. La integral de difracción de Fresnel se utiliza para hallar el patrón de difracción del campo cercano. En el límite del campo lejano, esta ecuación se convierte en una transformada de Fourier, dando como resultado la ecuación de difracción de Fraunhofer. La transformada de Fourier fraccionaria es equivalente a la ecuación de difracción de Fresnel.^[20]^[21] Cuando el ángulo $\alpha$ se convierte en ⁠ $\pi /2$ ⁠, la transformada de Fourier fraccionaria es la transformada de Fourier estándar y proporciona el patrón de difracción del campo lejano. La difracción del campo cercano se corresponde con valores de $\alpha$ entre ⁠ $0$ ⁠ y ⁠ $\pi /2$ ⁠.

Aplicación

La transformada de Fourier fraccionaria se puede utilizar en el análisis tiempo-frecuencia y en el procesamiento digital de señales (PDS).^[22] Es útil filtrar el ruido, pero con la condición de que no se superponga con la señal deseada en el dominio tiempo-frecuencia. Considérese el siguiente ejemplo. No se puede aplicar un filtro directamente para eliminar el ruido, pero con la ayuda de la transformada de Fourier fraccionaria, se puede rotar primero la señal (incluyendo la señal deseada y el ruido). Luego se aplica un filtro específico que permitirá el paso únicamente de la señal deseada. De esta forma, el ruido se eliminará por completo. Finalmente, se utiliza nuevamente la transformada de Fourier fraccionaria para rotar la señal de vuelta y obtener la señal deseada.

Así, utilizando solo el truncado en el dominio del tiempo, o equivalentemente un filtro paso bajo en el dominio de la frecuencia, se puede recortar cualquier convexidad en el espacio tiempo-frecuencia. En cambio, el uso de herramientas del dominio del tiempo o de la frecuencia sin una transformada de Fourier fraccionaria solo permitiría recortar rectángulos paralelos a los ejes.

Las transformadas de Fourier fraccionarias también tienen aplicaciones en física cuántica. Por ejemplo, se utilizan para formular relaciones de incertidumbre entrópica,^[23] en esquemas de distribución cuántica de clave de alta dimensión con fotones individuales,^[24] y para observar el entrelazamiento espacial de pares de fotones.^[25]

También son útiles en el diseño de sistemas ópticos y para optimizar la eficiencia del almacenamiento holográfico.^[26] Trabajos más recientes han demostrado el uso de la transformada de Fourier fraccionaria en el antiguo problema de la recuperación de fase.^[27]

Véase también

Análisis espectral por mínimos cuadrados
Cálculo fraccionario
Kernel de Mehler

Otras transformadas tiempo-frecuencia:

Transformación canónica lineal
Transformada de Fourier de Tiempo Reducido
Transformada ondícula
Transformada chirrido
Función de distribución en forma de cono
Transformada de Fourier cuadrática
Transformada Z de chirrido

Referencias

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[6]
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[8]
Formalmente, esta fórmula solo es válida cuando la función de entrada está en un espacio suficientemente adecuado (como L¹ o el espacio de Schwartz), y se define mediante un argumento de densidad en el caso general.
[9]
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[10]
Si $α$ es un múltiplo entero de π, entonces las funciones cotangente y cosecante anteriores divergen. Esta aparente divergencia se puede manejar tomando el límite en el sentido de la teoría de distribuciones, lo que lleva a la delta de Dirac en el integrando. Este enfoque es consistente con la intuición de que, dado que ${\mathcal {F}}^{2}(f)=f(-t)~,~~{\mathcal {F}}_{\alpha }~(f)$ debe ser simplemente $f (t)$ o $f (- t)$ para $α$ un múltiplo par o impar de $π$ respectivamente.
[11]
Existe una regla elemental, utilizando la función tangente y su inversa (multivaluada), para $\alpha '$ en términos de $\alpha$ y $M$ .
[12]
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[13]
Ozaktas, Zalevsky y Kutay, 2001, Chapter 6.
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