Tricornio (matemáticas)

El tricornio ${\displaystyle T}$ está definido por una familia de polinomios antiholomórficos cuadráticos

${\displaystyle f_{c}:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$

dada por

${\displaystyle f_{c}:z\mapsto {\bar {z}}^{2}+c,}$

donde ${\displaystyle c}$ es un parámetro complejo. Para cada ${\displaystyle c}$, se observa la órbita delantera

${\displaystyle (0,f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),f_{c}(f_{c}(f_{c}(0))),\ldots )}$

del punto crítico ${\displaystyle 0}$ del polinomio antiholomorfo ${\displaystyle p_{c}}$. En analogía con el conjunto de Mandelbrot, el tricornio se define como el conjunto de todos los parámetros ${\displaystyle c}$ para los cuales está limitada la órbita de avance del punto crítico. Esto equivale a decir que el tricornio es el lugar de conexión de la familia de polinomios antiholomórficos cuadráticos; es decir, el conjunto de todos los parámetros ${\displaystyle c}$ para los que el conjunto de Julia ${\displaystyle J(f_{c})}$ es conexo.

Los análogos de grado superior del tricornio se conocen como multicornios.^[3] Estos son los lugares geométricos de conectividad de la familia de polinomios antiholomórficos ${\displaystyle f_{c}:z\mapsto {\bar {z}}^{d}+c}$.

• El tricornio es compacto y conexo.^[4] De hecho, Nakane modificó la prueba de Douady y Hubbard de la conectividad del conjunto de Mandelbrot para construir un difeomorfismo real analítico definido dinámicamente desde el exterior del tricornio hacia el exterior del disco unidad cerrado en el plano complejo. Se pueden definir los rayos externos paramétricos del tricornio como las imágenes inversas en coordenadas cilíndricas bajo este difeomorfismo.
• Cada componente hiperbólico del tricornio es simplemente conexo.^[3]
• El límite de cada componente hiperbólico del período impar del tricornio contiene arcos analíticos reales que consisten en parámetros parabólicos cuasi-conformemente equivalentes pero conformemente distintos.^[5][6] Este arco se denomina arco parabólico del tricornio, en marcado contraste con la situación correspondiente para el conjunto de Mandelbrot, donde se sabe que los parámetros parabólicos de un período dado están aislados.
• El límite de cada componente hiperbólico de período impar consta solo de parámetros parabólicos. Más precisamente, el límite de cada componente hiperbólico del período impar del tricornio es una simple curva cerrada que consta de exactamente tres puntos de cúspide parabólica, así como de tres arcos parabólicos, cada uno de los cuales conecta dos cúspides parabólicas.^[6]
• Todo arco parabólico de período k tiene, en ambos extremos, un intervalo de longitud positiva a través del cual se produce la bifurcación de un componente hiperbólico de período impar k a un componente hiperbólico de período 2k.