Trigonometría de un tetraedro

Considérese la cara ${\displaystyle F_{i}}$; sus aristas tendrán longitudes ${\displaystyle d_{jk},d_{jl},d_{kl}}$ y los ángulos opuestos correspondientes vienen dados por ${\displaystyle \alpha _{l,i},\alpha _{k,i},\alpha _{j,i}}$, para la que son de aplicación las leyes usuales de la trigonometría de un triángulo.

Considérese el triángulo proyectivo (esférico) al que pertenece ${\displaystyle P_{i}}$. Los vértices de este triángulo proyectivo son las tres líneas que unen ${\displaystyle P_{i}}$ con los otros tres vértices del tetraedro. Las aristas tendrán longitudes esféricas ${\displaystyle \alpha _{i,j},\alpha _{i,k},\alpha _{i,l}}$ y los respectivos ángulos esféricos opuestos vienen dados por ${\displaystyle \theta _{ij},\theta _{ik},\theta _{il}}$.

Las leyes usuales de la trigonometría esférica se aplican a este triángulo proyectivo.

Considérese el tetraedro ${\displaystyle X}$ y el punto ${\displaystyle P_{i}}$ como un vértice. El teorema de los senos alternos viene dado por la siguiente identidad:

${\displaystyle \sin(\alpha _{j,l})\sin(\alpha _{k,j})\sin(\alpha _{l,k})=\sin(\alpha _{j,k})\sin(\alpha _{k,l})\sin(\alpha _{l,j})}$

Los dos lados de esta identidad pueden interpretarse como correspondientes a las orientaciones de la superficie en sentido horario y antihorario.

Si se sustituye cualquiera de los cuatro vértices por el símbolo O, se obtienen cuatro identidades de este tipo, pero como máximo tres de ellas son independientes. Si se multiplican los lados en sentido horario de tres de las cuatro identidades y se deduce que el producto es igual al producto de los lados en sentido antihorario de las mismas tres identidades, y luego se cancelan los factores comunes de ambos lados, el resultado es la cuarta identidad.

Tres ángulos son los ángulos de un triángulo sí y solo sí su suma es 180° (π radianes). ¿Qué condición es necesaria y suficiente para que 12 ángulos sean los de un tetraedro? Claramente, la suma de los ángulos de cualquier lado del tetraedro debe ser 180°. Dado que existen cuatro triángulos de este tipo, hay cuatro restricciones sobre la suma de los ángulos, y el número de grados de libertad se reduce de 12 a 8. Las cuatro relaciones dadas por la ley de los senos reducen aún más el número de grados de libertad, de 8 a 5, ya que la cuarta restricción no es independiente de las tres primeras. Por lo tanto, el espacio de todas las formas de tetraedros es pentadimensional.^[3]

La ley de los cosenos para el tetraedro^[4] relaciona las áreas de cada cara del tetraedro con los ángulos diedros respecto a un punto. Se expresa mediante la siguiente identidad:

${\displaystyle \Delta _{i}^{2}=\Delta _{j}^{2}+\Delta _{k}^{2}+\Delta _{l}^{2}-2(\Delta _{j}\Delta _{k}\cos \theta _{il}+\Delta _{j}\Delta _{l}\cos \theta _{ik}+\Delta _{k}\Delta _{l}\cos \theta _{ij})}$

Considérese el tetraedro general ${\displaystyle X}$ y proyéctense sus caras ${\displaystyle F_{i},F_{j},F_{k}}$ sobre el plano donde se encuentra la cara ${\displaystyle F_{l}}$. Sea ${\displaystyle c_{ij}=\cos \theta _{ij}}$.

Entonces, el área de la cara ${\displaystyle F_{l}}$ viene dada por la suma de las áreas proyectadas, como sigue:

${\displaystyle \Delta _{l}=\Delta _{i}c_{jk}+\Delta _{j}c_{ik}+\Delta _{k}c_{ij}}$

Sustituyendo ${\displaystyle i,j,k,l\in \{1,2,3,4\}}$ por cada una de las cuatro caras del tetraedro, se obtiene el siguiente sistema homogéneo de ecuaciones lineales:

${\displaystyle {\begin{cases}-\Delta _{1}+\Delta _{2}c_{34}+\Delta _{3}c_{24}+\Delta _{4}c_{23}=0\\\Delta _{1}c_{34}-\Delta _{2}+\Delta _{3}c_{14}+\Delta _{4}c_{13}=0\\\Delta _{1}c_{24}+\Delta _{2}c_{14}-\Delta _{3}+\Delta _{4}c_{12}=0\\\Delta _{1}c_{23}+\Delta _{2}c_{13}+\Delta _{3}c_{12}-\Delta _{4}=0\end{cases}}}$

Este sistema homogéneo tendrá soluciones precisamente cuando:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}-1&c_{34}&c_{24}&c_{23}\\c_{34}&-1&c_{14}&c_{13}\\c_{24}&c_{14}&-1&c_{12}\\c_{23}&c_{13}&c_{12}&-1\end{vmatrix}}=0}$

Desarrollando este determinante, se obtiene la relación entre los ángulos diedros del tetraedro,^[1] como sigue:

${\displaystyle 1-\sum _{1\leq i<j\leq 4}c_{ij}^{2}+\sum _{j=2 \atop k\neq l\neq j}^{4}c_{1j}^{2}c_{kl}^{2}=2\left(\sum _{i=1 \atop j\neq k\neq l\neq i}^{4}c_{ij}c_{ik}c_{il}+\sum _{2\leq j<k\leq 4 \atop l\neq j,k}c_{1j}c_{1k}c_{jl}c_{kl}\right)}$

Considérese el tetraedro general ${\displaystyle X}$ y sea ${\displaystyle P_{ij}}$ el punto en la arista ${\displaystyle e_{ij}}$ y ${\displaystyle P_{kl}}$ el punto en la arista ${\displaystyle e_{kl}}$ tales que el segmento de recta ${\displaystyle {\overline {P_{ij}P_{kl}}}}$ sea perpendicular a ${\displaystyle e_{ij}}$ y ${\displaystyle e_{kl}}$. Sea ${\displaystyle R_{ij}}$ la longitud del segmento de recta ${\displaystyle {\overline {P_{ij}P_{kl}}}}$.

Para hallar ${\displaystyle R_{ij}}$:^[1]

Primero, se traza una línea que pase por ${\displaystyle P_{k}}$ y sea paralela a ${\displaystyle e_{il}}$, y otra línea que pase por ${\displaystyle P_{i}}$ y sea paralela a ${\displaystyle e_{kl}}$. Sea ${\displaystyle O}$ la intersección de estas dos líneas. Se unen los puntos ${\displaystyle O}$ y ${\displaystyle P_{j}}$. Por construcción, ${\displaystyle {\overline {OP_{i}P_{l}P_{k}}}}$ es un paralelogramo, por lo que ${\displaystyle {\overline {OP_{k}P_{i}}}}$ y ${\displaystyle {\overline {OP_{l}P_{i}}}}$ son triángulos congruentes. Así, los tetraedros ${\displaystyle X}$ y ${\displaystyle Y={\overline {OP_{i}P_{j}P_{k}}}}$ tienen el mismo volumen.

En consecuencia, la cantidad ${\displaystyle R_{ij}}$ es igual a la altura desde el punto ${\displaystyle P_{k}}$ hasta la cara ${\displaystyle {\overline {OP_{i}P_{j}}}}$ del tetraedro ${\displaystyle Y}$, lo que se demuestra mediante la traslación del segmento de recta ${\displaystyle {\overline {P_{ij}P_{kl}}}}$.

Según la fórmula del volumen, el tetraedro ${\displaystyle Y}$ satisface la siguiente relación: $${\displaystyle 3V=R_{ij}\times \Delta ({\overline {OP_{i}P_{j}}})}$$ donde ${\displaystyle \Delta ({\overline {OP_{i}P_{j}}})}$ es el área del triángulo ${\displaystyle {\overline {OP_{i}P_{j}}}}$. Dado que la longitud del segmento de recta ${\displaystyle {\overline {OP_{i}}}}$ es igual a ${\displaystyle d_{kl}}$ (ya que ${\displaystyle {\overline {OP_{i}P_{l}P_{k}}}}$ es un paralelogramo):

${\displaystyle \Delta ({\overline {OP_{i}P_{j}}})={\frac {1}{2}}d_{ij}d_{kl}\sin \lambda }$ donde ${\displaystyle \lambda =\angle OP_{i}P_{j}}$. Por lo tanto, la relación anterior se convierte en: $${\displaystyle 6V=R_{ij}d_{ij}d_{kl}\sin \lambda }$$. Para obtener ${\displaystyle \sin \lambda }$, considérense dos triángulos esféricos:

1. Tómese el triángulo esférico del tetraedro ${\displaystyle X}$ en el punto ${\displaystyle P_{i}}$; tendrá lados ${\displaystyle \alpha _{i,j},\alpha _{i,k},\alpha _{i,l}}$ y ángulos opuestos ${\displaystyle \theta _{ij},\theta _{ik},\theta _{il}}$. Por la ley esférica de los cosenos: $${\displaystyle \cos \alpha _{i,k}=\cos \alpha _{i,j}\cos \alpha _{i,l}+\sin \alpha _{i,j}\sin \alpha _{i,l}\cos \theta _{ik}}$$
2. Considérese el triángulo esférico del tetraedro ${\displaystyle X}$ en el punto ${\displaystyle P_{i}}$. Los lados están dados por ${\displaystyle \alpha _{i,l},\alpha _{k,j},\lambda }$ y el único ángulo opuesto conocido es el de ${\displaystyle \lambda }$, dado por ${\displaystyle \pi -\theta _{ik}}$. Por la ley esférica de los cosenos: $${\displaystyle \cos \lambda =\cos \alpha _{i,l}\cos \alpha _{k,j}-\sin \alpha _{i,l}\sin \alpha _{k,j}\cos \theta _{ik}}$$

Combinando ambas ecuaciones se obtiene el siguiente resultado:

${\displaystyle \cos \alpha _{i,k}\sin \alpha _{k,j}+\cos \lambda \sin \alpha _{i,j}=\cos \alpha _{i,l}\left(\cos \alpha _{i,j}\sin \alpha _{k,j}+\sin \alpha _{i,j}\cos \alpha _{k,j}\right)=\cos \alpha _{i,l}\sin \alpha _{l,j}}$

Despejando ${\displaystyle \cos \lambda }$:

${\displaystyle \cos \lambda =\cos \alpha _{i,l}{\frac {\sin \alpha _{l,j}}{\sin \alpha _{i,j}}}-\cos \alpha _{i,k}{\frac {\sin \alpha _{k,j}}{\sin \alpha _{i,j}}}}$

Así, utilizando la ley del coseno y trigonometría básica:

${\displaystyle \cos \lambda ={\frac {d_{ij}^{2}+d_{ik}^{2}-d_{jk}^{2}}{2d_{ij}d_{ik}}}{\frac {d_{ik}}{d_{kl}}}-{\frac {d_{ij}^{2}+d_{il}^{2}-d_{jl}^{2}}{2d_{ij}d_{il}}}{\frac {d_{il}}{d_{kl}}}={\frac {d_{ik}^{2}+d_{jl}^{2}-d_{il}^{2}-d_{jk}^{2}}{2d_{ij}d_{kl}}}}$

y por lo tanto:

${\displaystyle \sin \lambda ={\sqrt {1-\left({\frac {d_{ik}^{2}+d_{jl}^{2}-d_{il}^{2}-d_{jk}^{2}}{2d_{ij}d_{kl}}}\right)^{2}}}={\frac {\sqrt {4d_{ij}^{2}d_{kl}^{2}-(d_{ik}^{2}+d_{jl}^{2}-d_{il}^{2}-d_{jk}^{2})^{2}}}{2d_{ij}d_{kl}}}}$

Entonces:

${\displaystyle R_{ij}={\frac {12V}{\sqrt {4d_{ij}^{2}d_{kl}^{2}-(d_{ik}^{2}+d_{jl}^{2}-d_{il}^{2}-d_{jk}^{2})^{2}}}}}$

${\displaystyle R_{ik}}$ y ${\displaystyle R_{il}}$ se obtienen mediante permutación de las longitudes de los lados.

Nótese que el denominador es una reformulación de la fórmula de Bretschneider-von Staudt, que calcula el área de un cuadrilátero convexo general.