Trisectriz de Longchamps

En un círculo con un centro ${\displaystyle M}$ y diámetro ${\displaystyle AB}$, el punto ${\displaystyle B'}$ gira a una velocidad constante en la dirección angular positiva y el punto ${\displaystyle A'}$ gira a doble velocidad en la dirección opuesta. El punto ${\displaystyle B'}$ comienza en el punto ${\displaystyle B}$ y el punto ${\displaystyle A'}$ en el otro extremo del diámetro en el punto ${\displaystyle A}$. Las tangentes del círculo en los puntos ${\displaystyle A'}$ y ${\displaystyle B'}$ se cruzan en un punto ${\displaystyle E}$. El lugar geométrico de los puntos ${\displaystyle E}$ es la trisectriz de Longchamps.

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Para un círculo con radio ${\displaystyle a}$, cuyo centro está en el origen del sistema de coordenadas, se obtiene la siguiente ecuación en coordenadas polares:^[2]

${\displaystyle r=-{\frac {a}{\cos(3\varphi )}}}$.

La siguiente ecuación en coordenadas cartesianas se deduce de la expresión anterior:

${\displaystyle x(x^{2}-3y^{2})+a(x^{2}+y^{2})=0}$.

Utilizando el parámetro ${\displaystyle \gamma$ :[0,2\pi ]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}} en coordenadas cartesianas, se obtiene con funciones trigonométricas la forma:

${\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {\cos(t)}{\cos(3t)}}a\\-{\frac {\cos(t)}{\sin(3t)}}a\end{pmatrix}}}$.

También es posible expresar la curva según el parámetro ${\displaystyle \gamma$ :(-\infty ,\infty )\rightarrow \mathbb {R} ^{2}} en coordenadas cartesianas con funciones racionales:^[1]

${\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {1+t^{2}}{1-3t^{2}}}a\\{\frac {1+t^{2}}{1-3t^{2}}}at\end{pmatrix}}}$.

La trisectriz de Longchamps tiene tres asíntotas y tres ejes de simetría:

Asíntotas

• ${\displaystyle x={\frac {a}{3}}}$,
• ${\displaystyle y=-{\frac {1}{\sqrt {3}}}x-{\frac {2a}{3{\sqrt {3}}}}}$.
• ${\displaystyle y={\frac {1}{\sqrt {3}}}x+{\frac {2a}{3{\sqrt {3}}}}}$

Ejes de simetría

• ${\displaystyle y=0}$
• ${\displaystyle y={\frac {\sqrt {3}}{2}}x}$
• ${\displaystyle y=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}x}$

La inversión de la trisectriz respecto al círculo de su definición genera un trébol regular.^[1]