Valor absoluto ultramétrico

Un valor absoluto ultramétrico es una aplicación de un cuerpo K en el conjunto ℝ₊ de los números reales positivos verificando las siguientes tres propiedades:^[1]

$|x|=0_{\mathbb {R} }\iff x=0_{K}$ (axioma de separación);
$|xy|=|x||y|$ (homomorfismo de grupos multiplicativo de K* sobre ℝ₊*)
$|x+y|\leq \max(|x|,|y|)$ (desigualdad ultramétrica)

cualesquiera que sean los elementos $x$ e $y$ de K.

Valor absoluto trivial

El valor absoluto trivial de K asocia con 0 el valor 0 y el valor 1 con cualquier otro elemento de K.

Es el valor absoluto ultramétrico asociado con la valoración trivial en K.

Valor p-ádico absoluto

Artículo principal: Número p ádico

Sea un número primo arbitrario $p$ . Se puede escribir de forma única cualquier número racional $r$ en la forma:

$r=p^{k}{\frac {a}{b}}$ donde $k\in \mathbb {Z}$ y donde $a$ y $b$ son primos entre sí y primos con respecto a $p$ .

Entonces se define la aplicación asociando el valor $r$ con un número racional $|r|_{p}=p^{-k}$ . Por ejemplo,

\left|{\frac {21}{4}}\right|_{2}=4,~\left|{\frac {15}{7}}\right|_{2}=1{\text{ y }}\left|{\frac {60}{11}}\right|_{2}={\frac {1}{4}}.

Esta aplicación es un valor absoluto ultramétrico en el cuerpo $\mathbb {Q}$ , asociado con la valoración p ádica.

Vínculos con nociones relacionadas

Esta aplicación es un caso especial de valor absoluto sobre un cuerpo.
La aplicación $d : (x, y) \mapsto | y - x |$ es en consecuencia una distancia en K; la simetría se debe al hecho de que $|-x|=|x|$ para cualquier elemento $x$ de K.
Esta distancia es ultramétrica.
Una aplicación es un valor absoluto ultramétrico si y solo si es un valor absoluto asociado a una valoración con valores reales.^[2]

Propiedades

Aquí $e$ denota el elemento neutro para la multiplicación de K.

Enunciado: si $|e|=|-e|=1$
entonces $|-x|=|x|$ para cualquier elemento $x$ de K.^[3]

Demostración
$\|e\|=\|e.e\|=\|e\|.\|e\|$ . La ecuación $\|e\|=\|e\|.\|e\|$ para el valor $\|e\|$ tiene solo dos soluciones en $\mathbb {R}$ , $0$ y $1$ . El axioma de separación asegura que $\|e\|\neq 0$ , por lo que se deduce que $\|e\|=1$ . Asimismo, $\|e\|=\|-e.-e\|=\|-e\|.\|-e\|$ , de ahí que $\|-e\|^{2}=1$ . Como además el valor absoluto solo toma valores positivos, se tiene que $\|-e\|=1$ . Finalmente, $\|-x\|=\|-e.x\|=\|-e\|.\|x\|=1.\|x\|=\|x\|$ y, por lo tanto, $\|-x\|=\|x\|$ .^[1]

Para cualquier pareja $(a, b)$ de elementos del cuerpo K:

''Enunciado: $|a|\neq |b|\Rightarrow |a+b|=\max(|a|,|b|)$ ^[4]

Demostración
Como $\|a\|\neq \|b\|$ , uno de los dos es estrictamente inferior al otro. Se supone (sin pérdida de generalidad) que $\|a\|<\|b\|$ . Entonces, de la desigualdad ultramétrica, $\|b\|=\|(b+a)+(-a)\|\leq \max(\|b+a\|,\|-a\|)$ . O $\|-a\|=\|a\|$ según una propiedad anterior. Entonces se tiene que $\|b\|\leq \max(\|b+a\|,\|a\|)$ . Como $\|a\|$ es por hipótesis estrictamente menor que $\|b\|$ , esta desigualdad solo se puede verificar si $\|b\|\leq \|b+a\|$ . Volviendo a aplicar la desigualdad ultramétrica, se tiene que $\|b+a\|\leq \max(\|b\|,\|a\|)=\|b\|$ . Al reunir estos dos resultados, resulta que $\|b\|\leq \|b+a\|\leq \|b\|$ , lo que prueba que $\|a+b\|=\|b\|=\max(\|a\|,\|b\|)$ .^[1]

Valor absoluto ultramétrico

Valor absoluto trivial

Valor p-ádico absoluto

Vínculos con nociones relacionadas

Propiedades

Referencias

Véase también

Enlaces externos

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