Variedad cuasi-proyectiva

Un mapa regular ${\displaystyle f:X\to \mathbb {P} ^{m}}$ de una variedad cuasi-proyectiva irreducible ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {P} ^{n}}$ al espacio proyectivo ${\displaystyle \mathbb {P} ^{m}}$ está dado por una (m+1)-tupla de formas ${\displaystyle (F_{0}:\ldots :F_{m})}$ del mismo grado en las coordenadas homogéneas de ${\displaystyle x\in \mathbb {P} ^{n}}$. Se requiere además que para cada ${\displaystyle x\in X}$ exista una forma ${\displaystyle (F_{0}:\ldots :F_{m})}$ tal que ${\displaystyle F_{i}(x)\neq 0}$ para algún ${\displaystyle i}$; entonces identificamos ${\displaystyle f(x)}$ con el punto ${\displaystyle (F_{0}(x):\ldots :F_{m}(x))}$.^[2]

La definición anterior provee una forma natural de definir los isomorfismos de variedades cuasi-proyectivas. Un isomorfismo de variedades cuasi-proyectivas es un mapa regular cuya inversa es otro mapa regular.^[2]

Una variedad afín es una variedad cuasi-proyectiva que es isomorfa a un conjunto cerrado (en la topología de Zariski) de un espacio afín. De lo anterior se sigue que toda variedad afín es cuasi-proyectiva pero no viceversa.