Velocidad de una partícula

La velocidad de las partículas, denotada ${\displaystyle \mathbf {v} }$, se define por ${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\partial \mathbf {\delta } }{\partial t}}}$ donde ${\displaystyle \delta }$ es el desplazamiento de la partícula.

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El desplazamiento de la partícula de una onda sinusoidal progresiva viene dado por

${\displaystyle \delta (\mathbf {r} ,\,t)=\delta _{\mathrm {m} }\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\varphi _{\delta ,0}),}$

donde

• ${\displaystyle \delta _{\mathrm {m} }}$ es la amplitud del desplazamiento de la partícula;
• ${\displaystyle \varphi _{\delta ,0}}$ es el desfase del desplazamiento de la partícula;
• ${\displaystyle \mathbf {k} }$ es el vector de onda angular;
• ${\displaystyle \omega }$ es la frecuencia angular.

Se deduce que la velocidad de la partícula y la presión acústica a lo largo de la dirección de propagación de la onda acústica x vienen dadas por

${\displaystyle {\hat {v}}(\mathbf {r} ,\,s)=v_{\mathrm {m} }{\frac {s\cos \varphi _{v,0}-\omega \sin \varphi _{v,0}}{s^{2}+\omega ^{2}}},}$

${\displaystyle {\hat {p}}(\mathbf {r} ,\,s)=p_{\mathrm {m} }{\frac {s\cos \varphi _{p,0}-\omega \sin \varphi _{p,0}}{s^{2}+\omega ^{2}}}.}$

donde

• ${\displaystyle v_{\mathrm {m} }}$ es la amplitud de la velocidad de la partícula;
• ${\displaystyle \varphi _{v,0}}$ es el desplazamiento de fase de la velocidad de la partícula;
• ${\displaystyle p_{\mathrm {m} }}$ es la amplitud de la presión acústica;
• ${\displaystyle \varphi _{p,0}}$ es el desplazamiento de fase de la presión acústica.

Tomando las transformadas de Laplace de ${\displaystyle v}$ y ${\displaystyle p}$ con respecto al tiempo se obtiene

${\displaystyle {\hat {v}}(\mathbf {r} ,\,s)=v_{\mathrm {m} }{\frac {s\cos \varphi _{v,0}-\omega \sin \varphi _{v,0}}{s^{2}+\omega ^{2}}},}$

${\displaystyle {\hat {p}}(\mathbf {r} ,\,s)=p_{\mathrm {m} }{\frac {s\cos \varphi _{p,0}-\omega \sin \varphi _{p,0}}{s^{2}+\omega ^{2}}}.}$

Puesto que ${\displaystyle \varphi _{v,0}=\varphi _{p,0}}$, the amplitude of the specific acoustic impedance is given by

${\displaystyle z_{\mathrm {m} }(\mathbf {r} ,\,s)=|z(\mathbf {r} ,\,s)|=\left|{\frac {{\hat {p}}(\mathbf {r} ,\,s)}{{\hat {v}}(\mathbf {r} ,\,s)}}\right|={\frac {p_{\mathrm {m} }}{v_{\mathrm {m} }}}={\frac {\rho c^{2}k_{x}}{\omega }}.}$

En consecuencia, la amplitud de la velocidad de la partícula está relacionada con las del desplazamiento de la partícula y la presión acústica por

${\displaystyle v_{\mathrm {m} }=\omega \delta _{\mathrm {m} },}$

${\displaystyle v_{\mathrm {m} }={\frac {p_{\mathrm {m} }}{z_{\mathrm {m} }(\mathbf {r} ,\,s)}}.}$