Álgebra superconforme

El grupo conforme del espacio ${\displaystyle (p+q)}$-dimensional ${\displaystyle {\mathbb {R} ^{p,q}}}$es ${\displaystyle SO(p+1,q+1)}$ y su álgebra de Lie es ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(p+1,q+1)}$. El álgebra superconforme es un superálgebra de Lie que contiene el factor bosónico ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(p+1,q+1)}$y cuyos generadores impares se transforman bajo representaciones espinoriales de ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(p+1,q+1)}$. Dada la clasificación de Kač de los superálgebras de Lie simples de dimensión finita, esto solo puede suceder para valores pequeños de ${\displaystyle p}$y ${\displaystyle q}$. Una lista (posiblemente incompleta es

• ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}^{*}(2N|2,2)}$en 3+0D (dimensiones) gracias a que ${\displaystyle {\mathfrak {usp}}(2,2)\simeq {\mathfrak {so}}(4,1)}$${\displaystyle {\mathfrak {usp}}(2,2)\simeq {\mathfrak {so}}(4,1)}$;
• ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(N|4)}$en 2+1D gracias a que ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(4,\mathbb {R} )\simeq {\mathfrak {so}}(3,2)}$;
• ${\displaystyle {\mathfrak {su}}^{*}(2N|4)}$en 4+0D gracias a que ${\displaystyle {\mathfrak {su}}^{*}(4)\simeq {\mathfrak {so}}(5,1)}$;
• ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2,2|N)}$en 3+1D gracias a que ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2,2)\simeq {\mathfrak {so}}(4,2)}$;
• ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(4|N)}$en 2+2D gracias a que ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(4,\mathbb {R} )\simeq {\mathfrak {so}}(3,3)}$;
• formas reales de ${\displaystyle F(4)}$en 5 dimensiones;
• ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(8^{*}|2N)}$en 5+1D gracias al hecho de que las representaciones espinorial y fundamental de ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(8,\mathbb {C} )}$se pueden mapear mediante automorfismos exteriores.

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De acuerdo con^[1][2] el álgebra superconforme con ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$supersimetrías en 3+1 dimensiones está dado por los generadores bosónicos ${\displaystyle P_{\mu }}$, ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle M_{\mu \nu }}$, ${\displaystyle K_{\mu }}$la R-simetría U(1) ${\displaystyle A}$, la R-simetría SU(N) ${\displaystyle T_{j}^{i}}$y los generadores fermiónicos ${\displaystyle Q^{\alpha i}}$, ${\displaystyle {\overline {Q}}_{i}^{\dot {\alpha }}}$, ${\displaystyle S_{i}^{\alpha }}$y ${\displaystyle {\overline {S}}^{{\dot {\alpha }}i}}$. Aquí, ${\displaystyle \mu ,\nu ,\rho ,\dots }$denotan índices espaciotemporales; ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\dots }$índices espinorales de Weyl izquierdos; ${\displaystyle {\dot {\alpha }},{\dot {\beta }},\dots }$índices espinorales de Weyl derechos; y ${\displaystyle i,j,\dots }$ los índices de la R-simetría interna.

Los supercorchetes de Lie del álgebra conforme bosnico están dados por

${\displaystyle [M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\rho \mu }-\eta _{\mu \sigma }M_{\rho \nu }}$

${\displaystyle [M_{\mu \nu },P_{\rho }]=\eta _{\nu \rho }P_{\mu }-\eta _{\mu \rho }P_{\nu }}$

${\displaystyle [M_{\mu \nu },K_{\rho }]=\eta _{\nu \rho }K_{\mu }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu }}$

${\displaystyle [M_{\mu \nu },D]=0}$

${\displaystyle [D,P_{\rho }]=-P_{\rho }}$

${\displaystyle [D,K_{\rho }]=+K_{\rho }}$

${\displaystyle [P_{\mu },K_{\nu }]=-2M_{\mu \nu }+2\eta _{\mu \nu }D}$

${\displaystyle [K_{n},K_{m}]=0}$

${\displaystyle [P_{n},P_{m}]=0}$

Dónde η es la métrica de Minkowski; mientras que los de los generadores fermiónicos son:

${\displaystyle \left\{Q_{\alpha i},{\overline {Q}}_{\dot {\beta }}^{j}\right\}=2\delta _{i}^{j}\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }P_{\mu }}$

${\displaystyle \left\{Q,Q\right\}=\left\{{\overline {Q}},{\overline {Q}}\right\}=0}$

${\displaystyle \left\{S_{\alpha }^{i},{\overline {S}}_{{\dot {\beta }}j}\right\}=2\delta _{j}^{i}\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }K_{\mu }}$

${\displaystyle \left\{S,S\right\}=\left\{{\overline {S}},{\overline {S}}\right\}=0}$

${\displaystyle \left\{Q,S\right\}=}$

${\displaystyle \left\{Q,{\overline {S}}\right\}=\left\{{\overline {Q}},S\right\}=0}$

Los generadores conformes bosónicos no portan R-cargas, dado que conmutan con los generadores de la R-simetría:

${\displaystyle [A,M]=[A,D]=[A,P]=[A,K]=0}$

${\displaystyle [T,M]=[T,D]=[T,P]=[T,K]=0}$

Pero los generadores fermiónicos si portan R-carga:

${\displaystyle [A,Q]=-{\frac {1}{2}}Q}$

${\displaystyle [A,{\overline {Q}}]={\frac {1}{2}}{\overline {Q}}}$

${\displaystyle [A,S]={\frac {1}{2}}S}$

${\displaystyle [A,{\overline {S}}]=-{\frac {1}{2}}{\overline {S}}}$

${\displaystyle [T_{j}^{i},Q_{k}]=-\delta _{k}^{i}Q_{j}}$

${\displaystyle [T_{j}^{i},{\overline {Q}}^{k}]=\delta _{j}^{k}{\overline {Q}}^{i}}$

${\displaystyle [T_{j}^{i},S^{k}]=\delta _{j}^{k}S^{i}}$

${\displaystyle [T_{j}^{i},{\overline {S}}_{k}]=-\delta _{k}^{i}{\overline {S}}_{j}}$

Bajo transformaciones conformes bosónicas, los generadores fermiónicos se trasforman como:

${\displaystyle [D,Q]=-{\frac {1}{2}}Q}$

${\displaystyle [D,{\overline {Q}}]=-{\frac {1}{2}}{\overline {Q}}}$

${\displaystyle [D,S]={\frac {1}{2}}S}$

${\displaystyle [D,{\overline {S}}]={\frac {1}{2}}{\overline {S}}}$

${\displaystyle [P,Q]=[P,{\overline {Q}}]=0}$

${\displaystyle [K,S]=[K,{\overline {S}}]=0}$