1 − 2 + 4 − 8 + ⋯

Gottfried Leibniz a étudié la série alternée divergente 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − ⋯ dès 1673. Il affirmait qu'en soustrayant soit à gauche soit à droite, on pouvait atteindre l'infini positif ou négatif, et donc les deux réponses sont fausses et le tout devrait être fini :

Normalement, la nature choisit le milieu si aucun des deux n'est permis, ou plutôt s'il ne peut être déterminé lequel des deux est permis, et que le tout est égal à une quantité finie.

Leibniz n'a pas clairement affirmé que la série avait une somme, mais il a déduit une association avec 1/3 en suivant la méthode de Mercator^[1],[2]. L'attitude selon laquelle une série pourrait être égale à une quantité finie sans que la suite des sommes partielles ne converge réellement vers cette valeur serait courante au XVIII^e siècle, bien qu'aucune distinction ne soit faite dans les mathématiques modernes^[3].

Après que Christian Wolff a lu le traitement de la série de Grandi par Leibniz au milieu de l'année 1712, Wolff fut si satisfait de la solution qu'il chercha à étendre la méthode de la moyenne arithmétique à plus de séries divergentes telles que 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − ⋯^[4]. De manière succincte, si on exprime une somme partielle de cette série en fonction de l'avant-dernier terme, on obtient soit 4m + 1/3 ou –4n + 1/3. La moyenne de ces valeurs est 2m – 2n + 1/3, et en supposant que m = n à l'infini donne 1/3 comme somme de la série. L'intuition de Leibniz l'empêcha de pousser sa solution aussi loin, et il répondit que l'idée de Wolff était intéressante, mais invalide pour plusieurs raisons. Les moyennes arithmétiques des sommes partielles voisines ne convergent pas vers une valeur particulière, et pour tous les cas finis, on a n = 2m et non n = m. En général, les termes d'une série sommable devraient décroître vers 0 ; même 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ pourrait être exprimée comme une limite de cette série. Leibniz conseille à Wolff de reconsidérer sa position afin de « produire quelque chose de digne de la science et de lui-même »^[5].

Toute méthode de sommation possédant les propriétés de régularité, de linéarité et de stabilité permettra d'obtenir la somme d'une série géométrique

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}.}$

Dans ce cas, a = 1 et r = −2, donc la somme est 1/3.

Dans ses Institutiones de 1755, Leonhard Euler a utilisé ce qu'on appelle aujourd'hui la transformée d'Euler de 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯, arrivant à la série convergente 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯. Puisque cette deuxième série converge vers 1/3, Euler en déduit que 1 − 2 + 4 − 8 + ... = 1/3^[6]. Ses idées de calcul de séries ne suivent pas l'approche moderne ; on dirait aujourd'hui que 1 − 2 + 4 − 8 + ... est sommable au sens d'Euler et sa somme d'Euler est 1/3^[7].

La transformée d'Euler commence par la suite de termes positifs :

${\displaystyle a_{0}=1,a_{1}=2,a_{2}=4,a_{3}=8,...a_{n}=2^{n}.}$

La suite des différences finies directes est alors

${\displaystyle {\begin{matrix}\Delta a_{0}&=&a_{1}-a_{0}&=&2-1&=&1,\\\Delta a_{1}&=&a_{2}-a_{1}&=&4-2&=&2,\\\Delta a_{2}&=&a_{3}-a_{2}&=&8-4&=&3,\\\Delta a_{3}&=&a_{4}-a_{3}&=&16-8&=&4,\end{matrix}}}$

qui est exactement la même suite. Par conséquent, les suites itérées de différences directes commencent toutes par Δⁿa₀ = 1 pour tout n. La transformée d'Euler est la série

${\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}-{\frac {\Delta a_{0}}{4}}+{\frac {\Delta ^{2}a_{0}}{8}}-{\frac {\Delta ^{3}a_{0}}{16}}+\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots .}$

Il s'agit d'une série géométrique convergente dont la somme est 1/3 selon la formule habituelle.

La somme de Borel de 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ est également 1/3 ; lorsque Émile Borel introduit la formulation limite de sa méthode de sommation en 1896, ce fut l'un de ses premiers exemples après 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯^[8].

La suite de sommes partielles associée à 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ dans la métrique 2-adique est

${\displaystyle 1,-1,3,-5,11,\ldots }$

et lorsqu'il est exprimé en base 2 en utilisant le complément à deux,

${\displaystyle {\overline {0}}1,{\overline {1}}1,{\overline {0}}11,{\overline {1}}011,{\overline {0}}1011,\ldots }$

et la limite de cette séquence est ${\displaystyle {\overline {01}}1={\frac {1}{3}}}$ dans la métrique 2-adique. Ainsi ${\displaystyle 1-2+4-8\ldots ={\frac {1}{3}}}$.