Algèbre amassée

Soit F un anneau intègre, par exemple le corps Q(x₁,..., x_n) des fonctions rationnelles à n indéterminées sur le corps des nombres rationnels Q.

Un amas de rang n est un ensemble de n éléments {x, y,...} de F, généralement supposé être un ensemble algébriquement indépendant de générateurs d'une extension de corps F.

Une graine est la donnée d'un amas {x, y,...} de F muni d'une matrice d'échange B dont les coefficients entiers b_{x, y} sont indexés par les paires d'éléments {x, y} de l'amas. On suppose parfois que la matrice est antisymétrique, c'est-à-dire que b_{x, y} = – b_{y, x} pour tous x et y. Plus généralement, la matrice peut être supposée antisymétrisable, c'est-à-dire qu'il existe des entiers positifs d_x associés aux éléments x de l'ensemble tels que d_x⋅b_{x, y} = – d_y⋅b_{y, x} pour tous x et y. Il est commode de représenter une graine par un carquois dont les sommets sont la partie génératrice, en traçant b_{x, y} flèches de x vers y si ce nombre est positif. Lorsque b_{x, y} est antisymétrisable, le carquois ne comporte ni boucles, ni 2-cycles.

Une mutation d'une graine, définie par le choix d'un sommet y de l'amas, est une nouvelle graine obtenue par une généralisation du basculement (en) de la façon suivante. On permute les valeurs de b_{x, y} et b_{y, x} pour tous les x de l'amas. Si b_{x, y} > 0 et b_{y, z} > 0, on remplace b_{x, z} par b_{x, y}⋅b_{y, z} + b_{x, z}. Si b_{x, y} < 0 et b_{y, z} < 0, on remplace b_{x, z} par – b_{x, y}⋅b_{y, z} + b_{x, z}. Si b_{x, y}⋅b_{y, z} ≤ 0, on ne change pas b_{x, z}. Enfin, on remplace y par un nouveau générateur w défini par

${\displaystyle wy=\prod _{t:\,b_{t,y}>0}t^{b_{t,y}}+\prod _{t:\,b_{t,y}<0}t^{-b_{t,y}},}$

où les produits sont indexés par les éléments t de l'amas de la graine initiale tels que b_{t, y} est respectivement positif ou négatif. L'inverse d'une mutation est aussi une mutation, c'est-à-dire que si A est une mutation de B, alors B est une mutation de A.

Une algèbre amassée est construite à partir d'une graine initiale de la manière suivante. En procédant de manière itérative à des mutations de cette graine de toutes les manières possibles, on obtient un graphe fini ou infini dont les graines sont les sommets et où deux graines sont reliées par une arête si l'une peut être obtenue par mutation à partir de l'autre. L'algèbre sous-jacente de l'algèbre amassée est l'algèbre engendrée par tous les amas de toutes les graines de ce graphe. L'algèbre amassée est également munie la structure supplémentaire formée par les graines de ce graphe.

On dit qu'une algèbre amassée est de type fini si elle ne possède qu'un nombre fini de graines. Fomine et Zelevinsky^[2] ont montré que les algèbres amassées de type fini peuvent être classées à l'aide des diagrammes de Dynkin des algèbres de Lie simples de dimension finie.

Si {x} est l'amas d'une graine de rang 1, alors la seule mutation possible le transforme en {2x⁻¹}. Ainsi, une algèbre de cluster de rang 1 est simplement un anneau k[x, x⁻¹] de polynômes de Laurent, et elle ne possède que deux clusters, {x} et {2x⁻¹}. En particulier, elle est de type fini et est associée au diagramme de Dynkin A₁.

On part de l'amas {x₁, x₂} et que on prend la matrice d'échange telle que b₁₂ = –b₂₁ = 1. La mutation produit alors une suite de variables x₁, x₂, x₃, x₄,... et les amas sont donnés par des paires {x_n, x_n+1}. Les variables sont liées par les relations

${\displaystyle \displaystyle x_{n-1}x_{n+1}=1+x_{n},}$

dont on déduit qu'elles sont données par la suite

${\displaystyle x_{1},\ x_{2},\ x_{3}={\frac {1+x_{2}}{x_{1}}},\ x_{4}={\frac {1+x_{3}}{x_{2}}}={\frac {1+x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}},}$

${\displaystyle x_{5}={\frac {1+x_{4}}{x_{3}}}={\frac {1+x_{1}}{x_{2}}},\ x_{6}={\frac {1+x_{5}}{x_{4}}}=x_{1},\ x_{7}={\frac {1+x_{6}}{x_{5}}}=x_{2},\ {\text{etc.}}}$

Cette suite est périodique de période 5. Cette algèbre amassée possède donc exactement 5 amas, elle est en particulier de type fini. Elle est associée au diagramme de Dynkin A₂.

Les matrices b₁₂ = 1 et –b₂₁ = 2 ou 3 conduisent à des situations semblables où la suite de variables d'amas est périodique, de période 6 ou 8. Ces exemples sont également de type fini et sont associés aux diagrammes de Dynkin B₂ et G₂. Cependant, si |b₁₂ – b₂₁ | ≥ 4 _, alors la suite de variables d'amas n'est pas périodique et l'algèbre de groupe est de type infini.

On part du carquois x ₁ → x ₂ → x ₃. Alors les 14 amas sont :

${\displaystyle \left\{x_{1},x_{2},x_{3}\right\},}$

${\displaystyle \left\{{\frac {1+x_{2}}{x_{1}}},x_{2},x_{3}\right\},}$

${\displaystyle \left\{x_{1},{\frac {x_{1}+x_{3}}{x_{2}}},x_{3}\right\},}$

${\displaystyle \left\{x_{1},x_{2},{\frac {1+x_{2}}{x_{3}}}\right\},}$

${\displaystyle \left\{{\frac {1+x_{2}}{x_{1}}},{\frac {x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}}},x_{3}\right\},}$

${\displaystyle \left\{{\frac {1+x_{2}}{x_{1}}},x_{2},{\frac {1+x_{2}}{x_{3}}}\right\},}$

${\displaystyle \left\{{\frac {x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}}},{\frac {x_{1}+x_{3}}{x_{2}}},x_{3}\right\},}$

${\displaystyle \left\{x_{1},{\frac {x_{1}+x_{3}}{x_{2}}},{\frac {(1+x_{2})x_{1}+x_{3}}{x_{2}x_{3}}}\right\},}$

${\displaystyle \left\{x_{1},{\frac {(1+x_{2})x_{1}+x_{3}}{x_{2}x_{3}}},{\frac {1+x_{2}}{x_{3}}}\right\},}$

${\displaystyle \left\{{\frac {1+x_{2}}{x_{1}}},{\frac {x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}}},{\frac {(1+x_{2})x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}x_{3}}}\right\},}$

${\displaystyle \left\{{\frac {1+x_{2}}{x_{1}}},{\frac {(1+x_{2})x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}x_{3}}},{\frac {1+x_{2}}{x_{3}}}\right\},}$

${\displaystyle \left\{{\frac {x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}}},{\frac {x_{1}+x_{3}}{x_{2}}},{\frac {(1+x_{2})x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}x_{3}}}\right\},}$

${\displaystyle \left\{{\frac {(1+x_{2})x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}x_{3}}},{\frac {x_{1}+x_{3}}{x_{2}}},{\frac {(1+x_{2})x_{1}+x_{3}}{x_{2}x_{3}}}\right\},}$

${\displaystyle \left\{{\frac {(1+x_{2})x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}x_{3}}},{\frac {(1+x_{2})x_{1}+x_{3}}{x_{2}x_{3}}},{\frac {1+x_{2}}{x_{3}}}\right\}.}$

Il y a 6 variables d'amas en plus des 3 variables initiales x₁, x₂, x₃ données par

${\displaystyle {\frac {1+x_{2}}{x_{1}}},{\frac {x_{1}+x_{3}}{x_{2}}},{\frac {1+x_{2}}{x_{3}}},{\frac {x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}}},{\frac {(1+x_{2})x_{1}+x_{3}}{x_{2}x_{3}}},{\frac {(1+x_{2})x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}x_{3}}}}$.

On peut les mettre en bijection avec les 6 racines positives du diagramme de Dynkin A₃. Plus précisément, le dénominateur d'une variable d'amas est un monôme en x₁, x₂, x₃ dont les exposants sont les coefficients de la combinaison linéaire exprimant la racine positive associée comme somme de racines simples. Les 3 + 6 variables d'amas engendrent une algèbre amassée de type fini, correspondant au diagramme de Dynkin A₃. Les 14 amas sont les sommets du graphe d'amas, qui est un associaèdre.

Les algèbres de fonctions homogènes sur les grassmanniennes fournissent des exemples simples d'algèbres amassées dans lesquelles les coordonnées de Plücker forment quelques éléments remarquables.

Pour la grassmannienne des plans dans ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, la situation est encore plus simple. Les coordonnées de Plücker fournissent toutes les variables d'amas et les amas peuvent être entièrement décrits à l'aide de triangulations d'un polygone régulier à n sommets. Plus précisément, les amas sont en bijection avec les triangulations et les variables d'amas avec les diagonales (segments de droite reliant deux sommets du polygone). On distingue les côtés, qui appartiennent à tous les amas, et les diagonales intérieures. Ceci correspond à une distinction générale entre variables coefficients et variables d'amas.

Soit S une surface de Riemann compacte, connexe et orientée, et M un ensemble fini non vide de points de S contenant au moins un point de chaque composante du bord de S (le bord de S peut être vide ou pas). Le couple (S, M) est souvent appelé surface à bord avec des points marqués. Fomine-Shapiro-Thurston ont montré que si S n'est pas une surface fermée, ou si M a plus d'un point, alors les arcs (étiquetés) sur (S, M) paramètrent l'ensemble des variables d'amas d'une certaine algèbre amassé A(S, M), qui dépend uniquement de (S, M) et du choix d'un système de coefficients, de sorte que l'ensemble des triangulations (étiquetées) de (S, M) est en bijection avec l'ensemble des amas de A(S, M), deux triangulations (étiquetées) étant liées par un retournement si et seulement si les amas auxquels elles correspondent sont liées par une mutation d'amas.

Étant donné un groupe réductif ${\displaystyle G}$, par exemple ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}}$, muni de deux sous-groupes de Borel opposés ${\displaystyle B_{\pm }}$, on peut munir ${\displaystyle G^{u,v}=BuB\cap B_{-}vB_{-}}$ (où ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle v}$ sont dans le groupe de Weyl) de cartes, paramétrées par les décompositions réduites de ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle v}$, dont les coordonnées sont des variables d'amas. En conservant seulement ${\displaystyle B}$ ou ${\displaystyle B_{-}}$, on retrouve la décomposition de Bruhat.