Amplituèdre
structure géométrique utilisée en théorie quantique des champs
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Un amplituèdre est une structure géométrique introduite en 2013 par Nima Arkani-Hamed et Jaroslav Trnka. Il permet un calcul simplifié des interactions entre particules dans certaines théories quantiques des champs. Dans la théorie de Yang-Mills supersymétrique (en) dans la limite planaire, également équivalente au modèle B de la théorie des cordes topologiques dans l'espace des twisteurs, un amplituèdre est défini comme un espace mathématique appelé grassmannienne positive[1],[2].
Cet article est une ébauche concernant la physique théorique.
La théorie de l'amplituhédron remet en cause l'hypothèse selon laquelle le principe de localité dans l'espace-temps et l'unitarité quantique sont des ingrédients fondamentaux dans la modélisation des interactions entre particules. Au lieu de cela, ils sont traités comme des propriétés émergentes d'une structure sous-jacente[3].
Description
Lorsque des particules subatomiques interagissent, différents résultats sont possibles. L’évolution de ces diverses possibilités est appelée un «arbre», et l’amplitude de probabilité d’un résultat donné est appelée son amplitude. Selon le principe d’unitarité, la somme des probabilités (les modules au carré des amplitudes de probabilité) pour tous les résultats possibles est égale à 1.
Le processus de diffusion «on-shell» peut être décrit par un Grassmannien positif, une structure en géométrie algébrique analogue à un polytope convexe, qui généralise l’idée d’un simplexe dans l’espace projectif. Un polytope est l’analogue en *n* dimensions d’un polyèdre tridimensionnel; ici les valeurs calculées sont des amplitudes de diffusion et l’objet est donc appelé «amplituèdre»[4].
En utilisant la théorie des twisteurs, les relations de récurrence de Britto–Cachazo–Feng–Witten (BCFW) impliquées dans le processus de diffusion peuvent être représentées par un petit nombre de diagrammes de twisteurs. Ces diagrammes fournissent la «recette» pour construire le Grassmannien positif, c’est-à-dire l’amplituèdre, qui peut être capturé par une seule équation[5]. Ainsi, l’amplitude de diffusion peut être pensée comme le volume d’un certain polytope, le Grassmannien positif, dans l’espace des twisteurs de moment[6].
Lorsque le volume de l’amplituèdre est calculé dans la limite planaire de la théorie supersymétrique N = 4 de Yang–Mills, il décrit les amplitudes de diffusion des particules modélisées par cette théorie[4].
La représentation fondée sur les twisteurs fournit une méthode pour construire des cellules spécifiques du Grassmannien, qui s’assemblent pour former un Grassmannien positif — autrement dit, elle décrit une décomposition cellulaire spécifique du Grassmannien positif.
Les relations de récurrence peuvent être résolues de nombreuses façons, chacune donnant une représentation différente, l’amplitude finale s’exprimant aussi comme une somme de processus *on-shell* selon différentes façons. Par conséquent, toute représentation *on-shell* donnée des amplitudes de diffusion n’est pas unique, mais toutes les représentations d’une interaction donnée mènent au même amplituèdre[7].
L’approche par les twisteurs reste relativement abstraite. Bien que la théorie de l’amplituèdre fournisse un modèle géométrique sous-jacent, l’espace géométrique décrit n’est pas l’espace-temps physique, et est mieux compris comme une construction abstraite[8].
Implications
L’approche par les twisteurs simplifie les calculs des interactions entre particules. Dans une approche perturbative conventionnelle de la théorie quantique des champs, de telles interactions peuvent nécessiter le calcul de milliers de diagrammes de Feynman, dont la plupart décrivent des particules «virtuelles» sans existence directement observable. En revanche, la théorie des twisteurs propose une approche dans laquelle les amplitudes de diffusion peuvent être calculées en expressions beaucoup plus simples[9]. La théorie de l’amplituèdre permet de calculer ces amplitudes sans faire intervenir de particules virtuelles. Cela remet en question l’idée même d’une existence, même transitoire et non observable, de telles particules virtuelles[8].
La nature géométrique de la théorie suggère en retour que la nature de l’univers, à la fois dans le cadre de la relativité classique et de la mécanique quantique, pourrait être fondamentalement géométrique[6].
Les calculs peuvent être faits sans supposer les propriétés quantiques de localité et d’unitarité. Dans la théorie de l’amplituèdre, la localité et l’unitarité émergent comme conséquence directe de la positivité[4]. Elles sont encodées dans la géométrie positive de l’amplituèdre, via la structure de singularités de l’intégrande pour les amplitudes de diffusion. Arkani-Hamed suggère que c’est la raison pour laquelle la théorie de l’amplituèdre simplifie les calculs: dans l’approche par diagrammes de Feynman, la localité est manifeste, tandis que dans l’approche de l’amplituèdre, elle est implicite[5].
Voir aussi
Lien externe
- (en) Graham Farmelo, « The Universe Speaks in Numbers – Unearthing the quantum jewel », Institute of Advanced Studies, Princeton, (consulté le )
- (en) Natalie Wolchover, « a Jewel at the Heart of Quantum Physics », Quanta Magazine, (consulté le )
